热传导问题的数值解法

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1、第4章热传导问题的数值解法数值解法的基本思想及基本步骤；有限差分法的原理；能够根据求解域的特点，合理进行求解域离散；根据热平衡法建立节点温度差分方程；利用计算机求解节点温度差分方程组主要研究内容：本章具体内容安排：4.1导热问题数值解法的基本思想4.2内部节点离散方程的建立方法4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解4.4非稳态导热问题的数值解法4.1导热的问题数值解法的基本思想1.数值解法的基本思想:用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的

2、求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。2.数值解法求解导热问题的基本步骤：1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型；2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程（即导热控制方程）和单值性条件；3）求解域离散化：将导热问题所涉及的空间和时间区域按一定的要求划分成有限个子区域，将子区域的顶点作为需要确定其温度值的空间点或时间点（即节点）,每个节点就代表以它为中心的子区域，节点温度就代表子区域的温度；4）建立节点温度代

3、数方程组；5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；6）对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到结果满意为止。目前求解导热问题常用的数值解法主要有有限差分法、有限元法及边界元法。其中有限差分法比较成熟，应用较广。有限差分法的基本原理：用有限差分近似微分，用有限差商近似微商，将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例进行说明1求解域的离散化考虑根据导热物体的几何形状选择坐标系，利用一组与坐标轴平行的网格线将物体划分成若干

4、个子区域。网格的宽度称为步长。步长大小（即网格疏密）的选择根据问题的需要而定。1)子区域的划分2）节点的选择选择网格线交点和网格线与物体边界线的交点作为节点，每个节点代表以它为中心的子区域。如：(m,n)节点就代表涂阴影的子区域。控制方程：2建立节点离散方程如何得到各节点的差分方程？？建立节点温度差分方程的方法有两种：1）泰勒级数展开法2）热平衡法4.2内节点离散方程的建立方法1泰勒级数展开法对节点（m+1,n)和（m-1，n)分别写出t在（m,n)节点的泰勒级数展开式：以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例进行说明将上两式

5、相加略去高阶项则得：中心差分格式同理可得y方向的中心差分格式：对二维常物性，无内热源的稳态导热问题：2热平衡法内节点离散方程的建立方法热平衡法的基本思路是：根据节点所代表的控制容积在导热过程中的能量守恒建立节点温度差分方程。内部节点(m,n)所代表的控制容积在导热过程中的热平衡可表述为：从周围相邻控制容积导入的热流量之和等于零。即有：根据导热付里叶定律，对于垂直于画面方向单位宽度有：仍以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解把第2类及第3类边界条件合并考虑，根据热平衡法进行分析；对具

6、有第三类边界条件的边界节点(m,n)，根据热平衡有：网格毕渥数其他几种边界节点的温度差分方程：1.第三类边界条件下的外拐角边界节点：2.第三类边界条件下的内拐角边界节点：3.绝热边界节点：节点温度差分方程组的求解方法运用有限差分方法可建立导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程。这些节点温度差分方程构成一个线性代数方程组，求解该方程组，就可以得节点温度的数值。线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、迭代法等这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用的迭代法。1)简单迭代法设节点温度差分方程的形式为：为常数将该方程组改写为显

7、函数的形式：先假设一组节点温度的初始值2)高斯-塞德尔迭代法高斯-塞德尔迭代法是在简单迭代法的基础上加以改进的迭代运算方法。它与简单迭代法的主要区别是在迭代运算过程中总使用最新算出的数据。高斯-塞德尔迭代法要比简单迭代法收敛速度快。4.4非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法与稳态导热的主要区别：1）非稳态导热问题的控制方程比稳态导热多了非稳态项，因此单值性条件中增加了初始条件；2）除了与稳态导热问题一样需要对空间域进行离散外，还需要对时间进行域离散；3）在利用热平衡法导出节点温度方程时需要考虑控制容积的热力学能随时

8、间的变化；4）由于时间和空间同时离散，会带来节点温度方程求解的稳定性问题，有些情况下空间步长和时间步长不能任意选择。以“第三类边界条件下无限大平壁的一维非稳态导热问题为例”1一维非稳态导热问题的数值求解2）节点温度差分方程的建立控制方程：1)求解域的离散时间步长为：空间步长：