MATLAB在求二阶系统中阶跃响应的分析及应用

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1、武汉理工大学《基础技能强化训练》课程设计说明书摘要二阶系统控制系统按数学模型分类时的一种形式，是用数学模型可表示为二阶线性常微分方程的系统。二阶系统的解的形式，可由对应传递函数W(s)的分母多项式P(s)来判别和划分，P(s)的一般形式为变换算子s的二次三项代数式。　　代数方程P(s)=0的根，可能出现四种情况。　　1.两个实根的情况，对应于两个串联的一阶系统。如果两个根都是负值，就为非周期性收敛的稳定情况。　　2.当a1＝0，a2>0，即一对共轭虚根的情况,将引起频率固定的等幅振荡，是系统不稳定的一种表现。　　3.

2、当a1<0，a1-4a2<0，即共轭复根有正实部的情况，对应于系统中发生发散型的振荡,也是不稳定的一种表现。　　4.当a1>0，a1-4a2<0，即共轭复根有负实部的情况，对应于收敛型振荡，且实部和虚部的数值比例对输出过程有很大的影响。一般以阻尼系数ζ来表征，取在0.4~0.8之间为宜。当ζ>0.8后，振荡的作用就不显著，输出的速度也比较慢。而ζ<0.4时，输出量就带有明显的振荡和较大的超调量，衰减也较慢，这也是控制系统中所不希望的。当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。阶跃响应g(

3、t)定义为：系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状态响应。关键词：二阶系统阶跃响应MATLAB/Simulink9武汉理工大学《基础技能强化训练》课程设计说明书MATLAB在求二阶系统中阶跃响应的分析及应用1训练目的和要求通过对MATLAB仿真软件的语言的学习，学会在MATLAB中解决《电路原理》、《模拟电子技术基础》、《数字电子技术基础》等所学课本上的问题，进一步熟悉并掌握MATLAB在电路、信号与系统、自动控制原理、数字信号处理等中的应用。通过对软件的应用，巩固已学知识。以求达到通过训练能熟练掌握MATLA

4、B的应用，能够深入到实际问题中。要求通过理论分析所要求题目并通过MATLAB仿真比较实验结果。2理论分析计算已知系统的传递函数为，求其阶跃响应。并分析变化时，其阶跃响应的变化情况。本题要求求解一个简单的二阶系统的传递函数的阶跃响应，研究二阶系统的特征参数，当无阻尼自然频率为1时阻尼比对系统动态性能的影响。了解一下基础知识后就可以很自然的解决题目了，我们可以对二阶系统的传递函数进行分析后对无阻尼自然频率赋值1来求解。然后再用MATLAB仿真。二阶系统传递函数标准形式：9武汉理工大学《基础技能强化训练》课程设计说明书其中

5、，T—为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期—自然频率（或无阻尼振荡周期）ζ－阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的特征方程：特征根为：由题目可知，=1，ζ为一参数，因此对于ζ的取值进行分类说明(1)欠阻尼0<ζ<1将=1带入，可得到阻尼比在此区间内时的阶跃响应。9武汉理工大学《基础技能强化训练》课程设计说明书（2）临界阻尼ζ=1临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应将=1带入，可得到阻尼比在此区间内时的阶跃响应。特点：单调上升，无振荡，无超调，趋近于1，无稳态误差。(3)过阻尼ζ>19武汉理工大学《基础技能

6、强化训练》课程设计说明书将=1带入，可得到阻尼比在此区间内时的阶跃响应。特点：单调上升，无振荡，过度过程时间长，趋近于1，无稳态误差。（4）无阻尼状态ζ=0系统有一对共轭虚根系统在无阻尼下的单位阶跃响应为：结论：二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性ζ<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；ζ≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<ζ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快；ζ=0时，出现等幅振荡。3MATLAB仿真根据以上理论分析，用MATLAB编程分析。可以用两种方法求解。3.1程序一（用函数来求解）由传递函数与阶跃

7、响应的关系，编程如下：9武汉理工大学《基础技能强化训练》课程设计说明书symss%定义系统参数ssymsx%定义阻尼比xilaplace((1/(s^3+2*x*s^2+s)))%拉普拉斯逆变换函数求解ans=1-(cosh(t*(x^2-1)^(1/2))+(x*sinh(t*(x^2-1)^(1/2)))/(x^2-1)^(1/2))/exp(t*x)%带有阻尼比参数的阶跃响应3.2程序二（使用内置函数step）kosai=[0.1:0.1:1.0,2.0];figure(1)holdonfori=kosainu

8、m=1;den=[1,2*i,1];step(num,den)endtitle('TheStepResponseofTwoOrderSystem');holdoff结果如图3-1所示：9武汉理工大学《基础技能强化训练》课程设计说明书图3-1二阶系统传递函数阶跃响应4Simulink仿真4.1Simulink简介Simulink是MATLAB中的