2011届高考数学考前基础专题训练：不等式与数列交汇

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1、2011届高考数学考前基础专题训练：不等式与数列交汇1.数列是以为首项，为公比的等比数列．令，，．（1）试用、表示和；（2）若，且，试比较与的大小；（3）是否存在实数对，其中，使成等比数列．若存在，求出实数对和；若不存在，请说明理由．2.已知定义在R上的单调函数y=f(x)，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x、y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，（Ⅰ）求f(0)，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；　（Ⅱ）数列{an}满足,①求通项公式an的表达式；②令，试比较Sn与Tn的大小，并加以证明.3.设函数的定义域为R，当x＜0时＞1，且对任意的实数x，

2、y∈R，有（Ⅰ）求,判断并证明函数的单调性；（Ⅱ）数列满足,且①求通项公式。②当时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围。4.已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（），其中xn为正实数.（Ⅰ）用表示xn+1；（Ⅱ）若=4，记an=lg，证明数列成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.5.已知函数的图象经过点A（1，1），B（2，3）及C（，为数列的前项和．（１）求和；（２）若数列满足，求数列的前项和；（３）比较

3、2与的大小．6.已知，P1（x1,y1）、P2(x2,y2)是函数图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是。（1）求证：点P的纵坐标是定值；（2）若数列的通项公式是…m)，求数列的前m项和Sm；（3）在（2）的条件下，若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。7.已知函数横坐标为的点P满足，（1）求证：为定值。（2）若（3）、已知其中n∈N*,Tn为数列的前n项和，若Tn

4、；在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（为正整数），求数列的变号数10.已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以为方向向量的直线上．（1）求数列，的通项公式；（2）若，问是否存在，使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）证明不等式：，，……答案：1.解：（1）当时，，当时，所以；（2）因为，所以当时，，当时，，所以当，且时，，即；（3）因为，，所以，因为为等比数列，则或，所以或（舍去），所以.2.解：（I）由题意，令y=0，x<0，

5、得f(x)[1－f(0)]=0，∵x<0时，f(x)>1.∴1－f(0)=0.f(0)=1.适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=()x.（II）①由递推关系知f(an+1)·f(－2－an)=1，即f(an+1－2－an)=f(0).∵f(x)的R上单调，∴an+1－an=2，（n∈N*），又a1=1，故an=2n－1.②bn=,Sn=b1+b2+…+bn=+()3+…+()2n－1欲比较Sn与的大小，只需比较4n与2n+1的大小.由=1，2，3代入可知4n>2n+1，猜想4n>2n+1.下用数学归纳法证明（i）当n=1时，41>2×1+1成立（ii）假设当n=

6、k时命题成立，即4k>2k+1当n=k+1时，4k+1=4×4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1，说明当n=k+1时命题也成立.由（i）（ii）可知，4n>2n+1对于n∈N*都成立.故Sn>.注：证明4n>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，如：4n=(1+3)n=1+3.解：（Ⅰ）时，f（x）＞1令x=－1，y=0则f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1∴f（0）=1若x＞0，则f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故故x∈Rf（x）＞0任取x1＜x2故f（x）在R上减函数（Ⅱ）①由f（x）单调

7、性an+1=an+2故{an}等差数列②是递增数列当n≥2时，即而a＞1，∴x＞1故x的取值范围（1，+∞）4.解：（Ⅰ）由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．令，得．即．显然，∴．（Ⅱ）由，知，同理．　　　故．从而，即．所以，数列成等比数列．故．即．从而所以（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴∴当时，显然．当时，∴．　　　综上，．5.解：①②设相减得：③当时，当时，当≥3时，下面证明（1）当时，，显然成立；（2）假设当≥3时，不等式成立，即则当时，这说明当时，不等式成立.由（1）（2）可知，当≥3时，6.解：（1）由知，x1+x2=1，则故点P的纵坐标是，为