2005级信息安全数学基础试卷-A-答案

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1、姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………_____________________…诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《信息安全数学基础》试卷A－答案注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共四大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四总分得分评卷人一．选择

2、题：（每题2分，共20分）1．(2)。2．(3)。3．(1)。4．(3)。5．(2)。6．(3)。7．(4)。8．(3)。9．(4)。10．(3)二．填空题：（每题2分，共20分）1．设m是正整数，a是满足a

3、m的整数，则一次同余式：axºb(modm)有解的充分必要条件是(a,m)

4、b。当同余式axºb(modm)有解时，其解数为d＝(a,m)。2．设m是正整数，则m个数0,1,2,…,m－1中与m互素的整数的个数叫做m的欧拉(Euler)函数，记做j(m)。3．设m是正整数，若同余式x2ºa(modm)，(a,

5、m)=1有解，则a叫模m的平方剩余。4．设a,b是正整数，且有素因数分解，《信息安全数学基础》试卷第6页共6页，则，。5．如果a对模m的指数是j(m)，则a叫做模m的原根。6．设m是一个正整数，若r1,r2,…,rj(m)是j(m)个与m互素的整数，并且两两模m不同余，则r1,r2,…,rj(m)是模m的一个简化剩余系。7．Wilson定理：设p是一个素数，则(p－1)!≡－1(modp)。8．2007年1月18日是星期四，第220070118天是星期三。9．(中国剩余定理)设m1,…,mk是k个两两互素的正整数，

6、则对任意的整数b1,…,bk同余式组xºb1(modm1)…………xºbk(modmk)有唯一解。令m＝m1…mk，m＝miMi，i＝1,…,k，则同余式组的解为：x≡M1¢M1b1＋…＋Mk¢Mkbk(modm)，其中Mi¢Mi≡1(modmi),i＝1,2,…,k。10．正整数n有标准因数分解式为，则n的欧拉函数。三．证明题（写出详细证明过程）：（共30分）1．设m是一个正整数，a≡b（modm），如果整数d∣(a,b,m)证明：。（6分）证明因为d

7、(a,b,m),所以存在整数a¢,b¢,m¢使得a＝da¢,

8、b＝db¢,m＝dm¢由a≡b(modm)，知存在整数k使得a＝b＋mk,即da¢＝db¢＋dm¢k,因此，a¢＝b¢＋m¢k，这就是a¢≡b¢(modm¢),或者3．设m是一个正整数，a满足(a,m)＝1，则存在整数a¢，1£a¢

9、二：(构造性证明)因为(a，m)＝1,根据1.3定理5,运用广义欧几里得除法，存在整数s，t使得sa＋tm＝(a,m)＝1因此，令a¢＝s(modm)满足(sa＋tm)≡(aa¢＋tm)≡aa¢≡1(modm)。3．证明Euler定理：设m是大于1的正整数，如果a是满足(a,m)＝1的整数。则aj(m)º1(modm)。（12分）证明：取r1,…,rj(m)为模m的简化剩余系,则当整数a满足(a,m)＝1时,根据2.3定理3，ar1,…,arj(m)也为模m的一个简化剩余系,即ar1,…,arj(m)中之一必与且仅

10、与r1,…,rj(m)中之一必模m同余。根据2.1定理4,有(ar1)×××(arj(m))≡r1×××rj(m)(modm)因此,r1×××rj(m)(aj(m)－1)≡0(modm)又从(r1,m)＝1，(r2,m)＝1,…,(rj(m),m)＝1及1.4定理3,可以推出(r1×××rj(m),m)＝1从而,根据2.1定理8,得到aj(m)－1≡0(modm)即aj(m)≡1(modm)4．证明：设p和q是两个不相等的素数，证明：。（6分）《信息安全数学基础》试卷第6页共6页证明：因为p和q是两个不相等的素数，

11、由Euler定理，，，所以，而，因此。四．计算题（写出详细计算过程）：（共30分）1．设m＝737，a＝635，利用广义欧几里得除法求整数a¢，1£a¢