线性系统的可控性与可观测性

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1、第三章线性系统的可控性与可观测性本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。13.1可控性和可观测性的定义3.2线性定常连续系统的可

2、控性判据（※）3.3线性定常连续系统的可观测性判据（※）3.4对偶原理第三章线性系统的可控性与可观测性23.1可控性和可观测性的定义一．可控性与可观测性的物理概念系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切的说是状态可控的，否则就称系统为不完全可控的，或简称为系统不可控。如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就称系统为不完全可观测的，或

3、简称为系统不可观测。3例3-1：给定系统的状态空间描述为结构图表明：通过控制量u可以控制状态x1和x2，所以系统完全能控；但输出y只能反映状态变量x2，不能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。图3-1系统结构图4二．可控性定义1．状态可控考虑n维线性时变系统的状态方程如果对取定初始时刻的一个非零初始状态x(t0)=x0，存在一个时刻和一个无约束的容许控制u(t)，，使状态由x(t0)=x0转移到t1时的x(t1)=0，则称此x0是在时刻t0可控的.52．系统可控如果状态空间中的所有非零状态都是在t0（）时刻可控的，则称系统

4、在时刻t0是完全可控的，简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。考虑n维线性时变系统的状态方程63．系统不完全可控对于线性时变系统取定初始时刻，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。74．状态可达与系统可达对于线性时变系统若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达到或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0

5、可达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，或简称系统是t0时刻可达的。8三．可观测性定义1．系统完全可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻，存在一个有限时刻,对于所有，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量的初值x(t0)，则称系统在[t0,t1]内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系统在[t0,∞)内是完全可观测的。92．系统不可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻，存在一个有限时刻,对于所有，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初

6、值不能被y(t)确定，则称系统在[t0,t1]内是不完全可观测的，简称不可观测。103.2线性定常连续系统的可控性判据(※)一、线性定常连续系统的可控性判据（※）1．格拉姆矩阵判据线性定常系统完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。11证：充分性：已知W(0,t1)为非奇异，欲证系统为完全可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0可构造控制u(t)为：则u(t)作用下系统状态x(t)在t

7、1时刻的结果:这表明：对任一取定的初始状态x0≠0，都存在有限时刻t1>0和控制u(t)，使状态由x0转移到t1时刻的状态x(t1)=0，根据定义可知系统为完全可控。12必要性：已知系统完全可控，欲证W(0,t1)非奇异。反设W(0,t1)为奇异，即存在某个非零向量，使其中

8、

9、·

10、

11、为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有13因系统完全可控，根据定义对此非零向量应有0此结果与假设相矛盾，即W(0,t1)为奇异的反设不成立。因此，若系统完全可控，W(0,t1)必为非奇异。142．秩判据（※）1）凯莱-哈密尔顿定理：设n阶矩阵A的

12、特征多项式为则矩阵A满足其特征方程，即2）推论1：矩阵A的k(k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多项式注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。153）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式例3-4：已知，计算A100=?解：A的特征多项式为：由凯莱-哈密顿定理，得到1