考研辅导线性代数行列式(工科类)

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1、几点要求与注意：1。考研辅导学时有限，教师讲解不可能面面俱到，只能画龙点睛，教师所起的只是引导的作用，师生必须相互配合默契才能发挥最大的效益。2。辅导讲解主要讲授：常见题型，解题分析，第一章行列式行列式的常用计算方法：化三角形；递推法；数学归纳法，公式法知识要点线性代数中与行列式有关的内容：时，齐次线性方程组AX=0有非零解，但非齐次线性方程组没有唯一解（可能无解或无穷解）时，A可逆，可用A*求逆；对n个n维向量可用其行列式判其线性相关性；6.可用顺序主子式判二次型的正定性4.可定义矩阵A的秩；5.利用特征多项式求矩阵的特征值，且从1987年全国统考以来，行列式的题以填空、选择为主，题量

2、不多，且偏重于计算。对于落到行列式的考题，大致为三种类型，一是数字型行列式的计算，一是抽象型行列式的计算，还有就是行列式值的判定（特别是行列式是否为零？）在这些考题中不仅考查行列式的概念、性质及计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、特征值二次型等知识点。一、数字型行列式的计算1.（6分）设n元线性方程组Ax=b，其中，，.评注：本题关于三对角线行列式的计算通常用递推法。（96年数四考题中出现过）例如，本题按第一列展开，有证明行列式注：1.递推公式由也可直接往下推由同学们完成2.如果不是证明，而是求呢？3.如果要求解方程呢？例如见下题：留给读者(6分)设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)当

3、a取何值时，该方程组有唯一解，并求x1；(Ⅱ)当a取何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。练习题(1)参考：评注：本题可以按第一行（列）直接展开，建立递推公式；也可将各行（列）加到第一行（列）再展开，不过在建立，递推公式时一定要注意符号问题（如将各列加到第一列再展开），否则会出错！留作考生作练习。(2).（3分）设n阶矩阵则提示：用行列式性质作，注意技巧：使第一行或列元素一致。参考答案：评注：本题除用行列式的性质及展开计算外，你能用特征值更简便地求出该行列式的值吗?(提示：R（A）＝1充要条件为A＝（a1a2····an）T（b1b2····bn）且A的特征值为n，0，···，0

4、注意本题A＝B－E，其中评注：除去用行列式的性质及展开公式计算外,你能利用特征值更简便地求出行列式的值吗？综述对于数字型行列式的计算主要是按行、列展开公式，但在展开之前往往先运用行列式的性质对其作恒等变形。以期某行或某列有较多的零元素，这时再展开可减轻计算量．同时，也要注意一些特殊公式，如上(下)三角、范德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用．虽然单独命的计算题并不多，但在特征值问题中有较多型行列式的计算，在线性相关矩阵可逆、n个未知数n个方程的齐次方程组、二次型的正定等问题中都会涉及到行列式的计算，因此对行列式的计算要重视，不要因小失大．二、抽象型行列式的计算1.（3分）若4阶矩阵A与B相似

5、，矩阵A的特征值为，，，，则行列式(1).（4分）设矩阵，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA＝B＋2E，则练习一：要会计算这些题:(2).（4分）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2,E为3阶单位矩阵，则(3)（3分）若都是4维列向量，且4阶行列式，，则4阶行列式（A）m＋n；（B）－（m＋n）(C)n-m;(D)m-n评注：作为抽象型行列式，本题主要考查行列式的性质2（4分）设矩阵，矩阵B满足：ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵.则注意：式AA*=A*A=E的应用及的性质答案：评注：本题没有必要解出，不要出错注意(3)（4分）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么注意：行列式与矩

6、阵运算的不同；参考答案：另有B可分解为再利用范德蒙行列式的结果，注意矩阵分解是常用的方法。评注：本题还涉及到范德蒙行列式。另外，本题用行列式性质恒等变形也是可行的，例如。三、行列式是否为零的判断1、（3分）齐次方程组的系数矩阵为A。若存在三阶矩阵B≠0使得AB=0，则且（A）（B）且（C）且（D）且注：作为选择题，只需在与评注：对于条件AB=0应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组AX＝0的解二是秩的信息即，要有这两种思考问题的意识．另外，还可由AB=0可推出A,B都不可逆（反证）也是解决问题的一种思路中选择一个，因而可以用特殊值代入（3分）设A是m×n矩阵。B是n×m矩阵，则(B)

7、当m＞n时，必有行列式．(C)当n＞m时，必有行列式(D)当n＞m时，必有行列式(A)当m＞n时，必有行列式这样的题能快捷判断吗?2。设A是n阶非零矩阵（至少用两种方法作）是n阶矩阵，那么行列式矩阵A不可逆秩r(A)