2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答

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1、2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答一、计算题（1）求极限解法1直接化为黎曼和的形式有困难.注意到,,由于，所以.解法2利用，得，,由于，，所以.（2）计算，其中为下半球的上侧，.解法一.先以代入被积函数，，补一块有向平面，其法向量与轴正向相反，利用高斯公式，从而得到，其中为围成的空间区域，为上的平面区域，于是.解法二.直接分块积分，其中为平面上的半圆，.利用极坐标，得，，其中为平面上的圆域，，用极坐标，得，因此.（3）现要设计一个容积为的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时

2、，所需费用最少？解：设圆柱体的高为，底面直径为，费用为，根据题意，可知，，当且仅当时，等号成立，，故当时，所需要的费用最少.（4）已知在内满足求.解：，，所以，.二、求下列极限.（1）；（2），其中，，.解：（1）.（1），，故.一般地，有，其中，，.三．设在点附近有定义，且在点可导，，，求.解：.四、设在上连续，无穷积分收敛，求.解：设，由条件知，，，利用分部积分，得，，，于是.五．设函数在上连续，在内可微，且，.证明：（1）存在，使得；（2）对于每一，存在，使得.证明：（1）令，由题设条件，可知，；利用连续函数的介值定理，得存在，使得，即.（2）令，由题设条件和（1）中的结

3、果，可知，，；利用罗尔中值定理，得存在，使得，由，即得.六、试证：对每一个整数，成立.分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.证明：显然时，不等式成立；下设.由于，这样问题等价于证明，即，令上式化为，从而等价于，只要证明，设，则只要证明，，就有，，则问题得证.以下证明，，成立上式等价于，即，令，则，并且对，有，从而当时，，这样问题得证.注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.六、设为整数，，证明方程，在上至少有一个根.六、证明：存在，使得.证明：令，则有，，由连续函数的介值定理，得存在，使得，故问题得证.这里是由于，，在上严格单调递减，所以，当时

4、，有.七、是否存在上的可微函数，使得，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。证明如果这样的函数存在，我们来求的不动点，即满足的，，，由此得，这表明有唯一的不动点，易知也仅有唯一的不动点，，在等式，两边对求导，得，让，即得，这是不可能的，故这样的函数不存在。八、设函数在上一致连续，且对任何，有，证明：。试举例说明，仅有在上的连续性推不出上述结论。证明由在上一致连续，对，，当且时，便有；取定充分大的正整数，使得。现把区间等分，设其分点为，每个小区间的长度小于。对于任意，；从而必有，使得；由条件对每个，有；于是存在，当时，，对都成立；故当时，便有，即得，结论得证。设在上的连续

5、，且对任何，有，但推不出上述结论。例如函数满足在上的连续，且对任何，有，但不成立。