应用泛函分析考点

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1、<<应用泛函分析>>考点一、判断题（10分）1.开集、闭集的基本性质2.空间的完备性概念3.内积空间与赋范空间的关系4.范数和内积的关系5.勾股定理及逆命题6.可分空间的概念当内积空间中有可数集A为稠集时，即A可数且时，X称为可分空间。7.内积的概念一种矢量运算，但其结果为某一数值，表示为,，X是F上的线性空间。8.范数的概念二、叙述概念及定理（16分）1.内积空间　　2.赋范线性空间3.列紧集：赋范空间X中集合A称为列紧集，如果A中每一序列有某个收敛子序列。　4.自列紧：如果A中每一个序列有某个

2、收敛于A中点的子序列，则称A是自列紧集。5.闭集6.线性算子　7.连续线性算子8.有界线性算子　　9.紧线性算子　设X，Y都是赋范空间，是线性算子，如果T将X中每一有界集映成Y中的列紧集，则称T为紧线性算子或全连续算子。10.Cauchy-Schwarz不等式11.平行四边形公式　12.Hahn-Banach延拓定理设X是赋范线性空间.M是X的线性子空间,是M上的有界线性泛函.那末,存在X上的有界线性泛函,使得(1)（2）13.一致有界原理(共鸣原理)设X是Banach空间，Y是赋范空间，,即F是一族X到Y

3、的有界线性算子，则14开映射定理如果X，Y都是Banach空间，是连续线性满射，则T是开映射。15.闭图象定理　设X，Y都是Banach空间，是闭线性算子（即T是线性算子且图象是闭集），则T是连续的。三、计算题（30分）1.能熟练建立两个区间之间的一一对应.如：建立（0,1）与R之间的一一对应：2.会求线性泛函的范数.==3.掌握线性空间不成为内积空间的条件，并能举例说明.内积空间前三条性质：（1）对第一变元线性；（2）共轭对称性：；（3）正定性：，且举例：四、证明题（44分）1.能熟练证明一个线性空间是赋

4、范空间．证（1）三角不等式；（2）绝对齐性；（3）正定性2.熟练掌握Bessel不等式.如果是内积空间X的标准正交系，且则证明：3.熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式.X是内积空间。4.熟练掌握极化恒等式.如X为实内积空间，则如果X为复内积空间，则有证明：5.熟练掌握A的正交补的性质.。证明：6.熟练掌握Hahn-Banach延拓定理以及推论.1.Hahn-Banach延拓定理：设X是赋范线性空间.M是X的线性子空间,是M上的有界线性泛函.那末,存在X上的有界线性泛函,使得(1)（2）推论1：如X是

5、赋范空间是X中线性无关子集，是任意给定的数，则存在使得证明：令,定义，由，则g是线性泛函，因M是有限维的，g在M上是有界的。令f是g在X上的保范线性延拓，即得所要求的结果。推论2：设X是赋范空间且，则证明：推论3：若对X上所有的有界线性泛函f均有f（x0）=0，则x0=0。证明：由推论2

6、f（x0）

7、==0故x0=0