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1、第十章习题解答习题10-13．计算下列对弧长的曲线积分：22n（1）∫(x+y)ds,其中L为圆周x=acost,y=asint(0≤t≤2π)L2πn222222解：原式=∫(acost+asint)(−asint)+(acost)dt02π2n+12n+1=∫adt=2πa0（2）∫(x+y)ds,其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段L解：该直线方程：y=1−x112所以，原式=∫1⋅1+(1−x)′dx=∫2dx=2002（3）∫xds,其中L为由直线y=x及抛物线y=x所围成的区域边界L2解：y=x与y=x
2、的交点为（0，0），（1，1）2记：L:y=x(0≤x≤1);L:y=x(0≤x≤1)12所以∫Lxds=∫Lxds+∫Lxds1211222=∫x1+(x)′dx+∫x1+(x)′dx0011122112=2∫xdx+∫x1+4xdx=+∫(1+4x)2d(1+4x)00280255−1=+21222x+y222（4）∫eds,其中L为由圆周x+y=a,直线y=x及x轴L在第一象限内所围成的扇形的整个边界。22222解：y=x与x+y=a的交点为(a,a)22记：L:y=0(0≤x≤a)L:y=x(0≤x≤a);12222
3、L:y=a−x(a≤x≤a)32222222x+yx+yx+y原式=∫Leds+∫Leds+∫Leds123aax22x2aa−2x2=∫e1+0dx+∫2e1+(x′)dx+∫ae1+()dx002222a−xa2xa2xaaaaπ2=e
4、0+e
5、0+∫ae22dx=e(2+a)−2a−x421ttt（5）∫Γ222ds，其中Γ为曲线x=ecost,y=esint,z=e上相应于x+y+zt从0变到2的这弧段。21tt2tt22t解：原式=∫02t2t⋅(ecost−esint)+(esint+ecost)+edte⋅1+
6、e23−t3−2=∫edt=(1−e).0222（6）∫Γxyzds，其中Γ为折线ABCD,这里A,B,C,D依次为点（0，0，0）、（0，0，2）、（1，0，2）、（1，3，2）；z解：AB:x=0,y=0,z=t(0≤t≤2),B2CDyds=0+0+1dt=dtABC:x=t,y=0,z=2(0≤t≤1)x2ds=1+0+0dt=dt2CD:x=1,y=t,z=2(0≤t≤3)ds=0+1+0dt=dt2132∴原式=∫00dt+∫00dt+∫01⋅t⋅2dt=9习题10-23.计算下列对坐标的曲线积分：222（2）∫
7、Lxydx,其中L为圆周(x−a)+y=a(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）解：圆弧的参数方程为：x=2acos2θ,y=2acosθsinθ(0≤θ≤π)2π2a1∴原式=x⋅0dx+24a2cos3θsinθ(−4acosθsinθdθ)=−πa3∫0∫02(x+y)dx−(x−y)dy222（4）∫22，其中L为圆周x+y=a（按逆时针方向绕行）Lx+y解：该圆的极坐标方程：x=acosθ,y=asinθ(0≤θ≤2π)2π1原式=∫[acosθ+sinθ)(−asinθ)−a(c
8、osθ−sinθ)acosθ]dθ0a22π=−∫1dt=−2π06．设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置(x,y,z)沿直线移到(x,y,z)时111222重力所做的功。解：F={0,0,mg},记dr={dx,dy,dz},A(x,y,z),B(x,y,z),则功111222z2W=F⋅dr=mgdz=mg(z−z)∫∫12ABz17.把对坐标的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy化成对弧长L的曲线积分，其中L为:L(1)在xoy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)2(2)沿抛物线y=x从点(0,0)
9、到点(1,1)22(3)沿上半圆周x+y=2x从点(0,0)到点(1,1)解：（1）L的方向余弦：cosα=cosβ=cos45o=1121∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫[P(x,y)+Q(x,y)]dsL1L1222（2）ds=1+ydx=1+4xdxxdx122xcosα==cosβ=sinα=1−cosα=22ds1+4x1+4x∴∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫(Pcosα+Qcosβ)dsL2L21=∫[P(x,y)+2xQ(x,y)]dsL21+4x2222(1−x)dx2(3)ds=1+(2x
10、−x)′dx=1+dx∴cosα==2x−x22x−xds2∴cosβ=sinα=1−(2x−x)=1−x2∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫[P2x−x+Q⋅(1−x)]dsL31L3238.设Γ为曲线x=t,y=t,z=t上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分∫ΓPdx
