2015高考理科数学总复习题及解析-2函数、导数及其应用2-11 导数在函数研究中的应用

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1、[A组　基础演练·能力提升]一、选择题1．函数y＝在区间(1，＋∞)上(　　)A．是减函数　　　　　　B．是增函数C．有极小值D．有极大值解析：由题意知y′＝，该函数在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以有极小值．答案：C2．(2013年高考浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)新课标xkb1.comA．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取

2、到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当01时，f(x)＝(ex－1)(x－1)>0,1不会是极值点．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当01时，f(x)>0，由极值的概念，知选C.答案：C3．(2014年滨州模拟)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]

3、上的图象可能是(　　)解析：依题意，f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A满足，故选A.答案：A4．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则(　　)A．a0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，

4、因此有f(－1)

5、x

6、B．f(x)＝x2－ln

7、

8、x

9、C．f(x)＝

10、x

11、－2ln

12、x

13、D．f(x)＝

14、x

15、－ln

16、x

17、解析：经分析知，函数正的极小值点的横坐标应小于1，对四个选项求导可知选B项．答案：B二、填空题7．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.解析：由于f′(x)＝＝＝，而函数f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝＝0，解得a＝3，故填3.答案：38．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导函数为f′(x)＝[(x－3)·ex]′＝1·ex＋(x－

18、3)·ex＝(x－2)·ex，由函数导数与函数单调性的关系得，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由f′(x)＝(x－2)·ex>0，解得x>2.答案：(2，＋∞)9．已知函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数，且e≈2.718)．若f(6－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：∵f′(x)＝当x≤e时，f′(x)＝6－2x＝2(3－x)>0，当x>e时，f′(x)＝1－＝>0，∴f(x)在R上单调递增．又f(6－a2)>f(a)，∴6－a2>a，解之得－3

19、2.答案：(－3,2)三、解答题10．(2014年南昌模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R.求函数f(x)的单调区间；解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax＋1＝－.①当a＝0时，f′(x)＝，∵x>0，∴f′(x)>0，∴当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a≠0时，令f′(x)＝0得－＝0，∵x>0，∴ax2－x－1＝0，∴Δ＝1＋4a.当Δ≤0，即a≤－时，易知ax2－x－1≤0恒成立，故f′(x)≥0，∴当a≤－时，函数f(x)的单

20、调递增区间为(0，＋∞)．当Δ>0，即a>－时，方程ax2－x－1＝0的两个实根分别为x1＝，x2＝.若－0，∴当－0，则x1<0，x2>0，此时，当x∈(0，x2)时，f′(x)>0，当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)<0，∴当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；