广义极值分布及其在水文中的应用

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1、1998年水文第2期广义极值分布及其在水文中的应用金光炎安徽省水利科学研究院(淮委)摘要广义极值分布,包括
型、
型和
型,是一套完整的统计分布。以往,由于研究不足,常常只能采用极值
型分布,使应用受到了限制。本文中,详细地探讨了广义极值分布的统计特性,首次研制了该分布的离均系数表,并给出了水文频率计算中的示例。分析表明,应用广义极值分布,也能得到较好的适线结果。特别是有了离均系数表,对水文频率分析和各类统计计算是十分方便的。关键词水文频率分析广义极值分布参数估计水文频率分析中,常取用三参数的
分式中:x为随机变数X的取值;
、k和u为分布、对数正态分布和

2、克
闵分布等作为频率曲布参数,可与常用的统计参数(均值x
,标准差线的线型。对于极值分布,由于受到研究的限S或离差系数Cv和偏态系数Cs)建立关系,其制,一般只采用两参数的极值
型分布。特别是中
值设定恒为正值;F(x)取水文计算中的习在探讨和比较各种频率分布的适用性时,因极惯,用超过概率P表示值
型分布的偏态系数固定为1
140,使比较F(x)=P(X
x)=P(2)研究有一定的局限性。为导演方便及讨论简单起见,引入新的变[1]极值分布除
型之外,尚有
型和
型,数Y(取值为y),即设[2]在水文计算中均有示例应用的。实际上,这三x-uy=(3)
种型式

3、在统计性质上是连贯的,总起来可称为将其代入式(1),得Y的分布函数为广义极值分布(或一般极值分布)。极值
型仅1/k是其中的一个特例。F(y)=1-exp-(1-ky)(4)本文详述了广义极值分布的主要统计性及相应的密度函数为1/k-11/k质。同
分布等线型一样,该分布有三个参数,f(y)=(1-ky)exp-(1-ky)(5)亦能制成离均系数表,现首次详细制成,对应用这里,先讨论两个统计参数:中值y
和众值是方便的。y^。式(4)中,使F(y)=0
5,解得中值为广义极值分布不仅能用于水文计算上,也1ky
=1-(Ln2)(6)k能用在其他工程问题(如

4、地震出现概率等问题)当k
0(极值为
型)时,据罗毕达法则,得的统计分析中。y
=-LnLn2=0.36651。再求算式(5)的一阶导1广义极值分布的统计性质数,得到1/k-21/k1
1概述f
(y)=(1-ky)(1-ky)-1/k广义极值分布的分布函数为(1-k)exp-(1-ky)(7)k1/k使上式等于零,可解得众值。因y=1/k为分布F(x)=1-exp-1-(x-u)(1)
的上限或下限,不可能为众值,故91k为导演方便,再引入另一变数Z(取值为y^=1-(1-k)(8)kz),即同样,当k
0时有^y
0。显然,当k>1时,无众z=1-ky

5、值存在,密度曲线呈单调乙字形;当k
1时有k(12)或z=1-(x-u)}众值,密度曲线为单峰形(详见后述)。
将式(8)代入式(4),可得众值相应的超过于是,Z的分布函数F(z)和密度函数f(z)k-1概率F(y^)=1-e。当k=0(极值
型)时,分别为1/kF(y^)=63
21%。F(z)=1-exp-z(13)X的中值x
和众值x^,可按式(3)关系转11/k-11/kf(z)=zexp-z(14)k换。式中,0
z<
。1
2极值
型(k
0)由此可导得Z的r阶原点矩为式(1)中,当k
0时为极值
型分布。这一[1,3]mrz=
(1+rk)(

6、15)型已有详细的研究,在此仅列举一些主要的[3]据中心矩与原点矩的关系,可得Z的各特征和参数。分布函数为个参数,如均值
z、标准差Sz和偏态系数Csz,即x-uF(x)=1-exp-exp(-)

z=m1z=
(1+k)-

7、0.3~0或Csz=13
484~1
140式中含有
函数,如
(n),将它对n作r阶求(k的间隔:最小为0
001及最大为0
005)。由(r)导,得到
(n),然后使n=1,即为上式中的于该表的篇幅较大,这里仅摘录其中的一小部(r)
(1)。各参数值见表1,其中C为Euler常分,见表2,表中的Csz=Csx。[3]数。按一定的规则,可将X的参数导出,同列据式(12),可得X的各个参数,即于表1中。
x
=u+(1-z
)表1极值
型分布的参数值kSx=-
Sz/k(17)变数YXC参数sx=Csz均值C=0.57722u+C
1
4极值
型(k>0)

8、标准差(S)
/6=1.28255
/6当k>0时为极值
型分布