动态规划矩阵连乘算法

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1、word格式文档问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。   问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。    完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：   （1）单个矩阵是完

2、全加括号的；   （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)    例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。   看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100,100*5,5*50按此顺序计算需要的次数专业整理word格式文档((A1*A2)*A

3、3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次   所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。       算法思路：   例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：   A1：30*35;  A2：35*15;  A3：15*5;  A4：5*10;  A5：10*20;  A6：20*25    递推关系：    设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。   当i=j时，A[i:j]=

4、Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n   当i

5、i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。   1、

6、穷举法    列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。专业整理word格式文档    对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：       以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此，穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。   2、重叠递归   从以上递推关系和构造最优解思路出发，即可写出有子问题重叠性的递归代码实现：//3d1-1重叠子问题的递归最优解//A130*35A235*15A3

7、15*5A45*10A510*20A620*25//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}#include"stdafx.h"#includeusingnamespacestd;constintL=7;intRecurMatrixChain(inti,intj,int**s,int*p);//递归求最优解voidTraceback(inti,intj,int*