坐标系、矢量的坐标

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1、第8章§8.2坐标系、矢量的坐标§8.2.1坐标系§8.2.2空间直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系§8.2.3矢量运算的坐标表达式§8.2坐标系、矢量的坐标§8.2.1、坐标系坐标及坐标系为了确定空间中的一点在一定参考系中的位置，按照规定的方法选取的有序数组（或一个数）称为点的坐标，这种规定坐标的方法称为坐标系。例如平面直角坐标系和极坐标系§8.2.2、空间直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系空间直角坐标系首先取空间中一定点O，作三个以O点为始端的两两垂直的单位向量ijk,,，就确定了三条以O点为原点的两两垂直的数轴OxOyOz,,，分别称为x轴、y轴、z轴，并依OxOyOz,,

2、的顺序按右手法则规定坐标轴的正向。这样就由矢量法建立了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系过空间一定点o,由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.zz轴(竖轴)•坐标原点ⅢⅡ•坐标轴yoz面Ⅳ•坐标面Ⅰoxoy面y•卦限(八个)y轴(纵轴)Ⅶxx轴(横轴)ⅥⅤⅧ在直角坐标系下1111点M有序数组(x,y,z)向径r(称为点M的坐标)特殊点的坐标:原点O(0,0,0);坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,CzR(0,0,z)B(0,y,z)C(x,o,z)rMoyQ(0,y,0)xP(x,0,0)A(x,y,0)机动目录上页下页返回结束z

3、坐标轴:oyx坐标面:机动目录上页下页返回结束柱面坐标系空间中一点Mxy,,z，在Oxy面上投影Q的极坐标为r,，即rOQ，是OQ与x轴正向的夹角，z仍然是P在空间直角坐标系中的z坐标。显然，空间中任何一点P都可用三个数rz,,唯一确定，rz,,称为点M的柱面坐标，这里规定：0rz,02,.柱面坐标系3设M(x,y,z)R,将x,y用极坐标,代替,则（,,z)就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:xcos0zysin02zzzzM(x,y,z)坐标面分别为

4、常数圆柱面ooy常数半平面(x,y,0)xz常数平面机动目录上页下页返回结束球面坐标系空间中一点Mxy,,z与原点O的距离OM为r，矢量OM与z轴正向的夹角为，为OM在Oxy坐标面上的投影向量OQ与x轴正向的夹角。这样的三个数形成的有序数组r,,称为点M的球面坐标。这里规定：0r,0,02.空间球面坐标系3设M(x,y,z)R,其柱坐标为(,,z),令OMr,ZOM,则(r,,)就称为点M的球坐标.z直角坐标与球面坐标的关系zxrsincos0rMyrsinsin02r

5、ozrcos0y坐标面分别为xr常数球面rsinM(r,,)常数半平面zrcos常数锥面§8.2.3、矢量运算的坐标表达式设矢量aaaa1,2,3,bb1,b,b,23cc1,c,c.23则有aba1ba1,2ba2,3b3,kakakaka1,2,3,abababab,112233ijkaaa123aba1a2a2,,,abcb1b2b3.bbbccc1231231.矢量的坐标表示在空间直角坐标系下,任意矢量r可用向径OM表示.以i,j,k分别表示x,y,z轴上的单位向量,

6、设点M的坐标为M(x,y,z),则zOMONNMOAOBOCCMrkjBorxiyjzk(x,y,z)iyA此式称为矢量r的坐标分解式,xN沿三个坐标轴方向的分矢量.利用坐标作矢量的线性运算设a(ax,ay,az),b(bx,by,bz),为实数，则ab(axbx,ayby,azbz)a(ax,ay,az)平行矢量对应坐标成比例:当a0时,bxaxbayybxbybzbzazaxayaz2.矢量的模与两点间的距离公式zRM设r(x,y,z),作OMr,则有QorOMOPOQ

7、ORyP由勾股定理得xN222rOMxyz对两点与因得两点间的距离公式:222(xx)(yy)(zz)212121方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量a,b的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.z方向角的余弦称为其方向余弦.rxxOcosyrx2y2z2xxxzcosrx2y2z2ryyOcosyrx2y2z2xzzcos