1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计

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1、1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》江西省铜鼓县铜鼓中学漆赣湘（336200）教材：北师大版高一数学必修四第一章第四节第一小节一、教学目标1．知识与技能目标（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用；（2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用．2.过程与方法目标（1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想．（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力．3．情感、态度、价值观目标在学习中感悟数学概念的合理性、

2、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．二、教学重难点教学重点:任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用.难点:任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解.三、教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法结合多媒体课件四、教学过程（一）问题引入【投影展示】6问题１：初中我们学过锐角的正弦函数与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？借助右图直角三角形，复习回顾.，＝．问题２：锐角

3、三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，那么该比值会随着三角形的大小而改变吗？为什么？（根据相似三角形的知识可知该比值不会发生改变）（二）新知探究我们所学角的范围已经扩充到任意角，如果角为任意角，显然初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足我们的需求，我们必须重新定义正弦函数、余弦函数．今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨．【投影展示】问题3：如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆．设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点，你能求出与的值吗？该值与点的坐标

4、有什么关系呢？由学生自己探究，得出结论，，．归纳总结：一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与6轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，那么点的纵坐标叫作角的正弦函数，记作；点的横坐标叫作角的余弦函数，记作．通常，我们用表示自变量，即表示角的大小，用表示函数值，则得到任意角的正弦函数，余弦函数．【投影展示】问题4：在上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域分别是什么？说明：表示角的大小，故可为全体实数，而在单位圆中显然，故值域为．【投影展示】问题5如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的

5、三角函数值呢?（由学生探讨）说明：三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.根据三角形相似对应边成比例可知，我们只需计算点到原点的距离,那么，＝．因此任意角的正弦函数与余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数.【投影展示】问题6当角分别在第一、第二、第三、第四象限时，你能确定角的正弦函数值、余弦函数值的正负吗？完成课本P14页表格．6象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限说明：正弦函数符号与所在象限记忆法则，

6、从函数出发来记，“正弦上为正，余弦右为正，正切一、三正”；也可以从象限出发来记忆，即“一全为正，二正弦正，三正切正，四余弦正”．（三）新知应用【投影展示】例1在直角坐标系的单位圆中，，（1）画出角；（2）求出角的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角的正弦函数值、余弦函数值．（课本P14页例1）分析：只需求出交点坐标，套用定义即可求解．变式训练1判断与的符号，并通过计算进行验证．【投影展示】例2已知角终边上一点，求角的正弦函数值、余弦函数值．分析：该点并不是角的终边与单位圆的交点，所以应先计算，再利用，求解．解：，所以，．【投影展示】变式训练

7、2已知角终边上一点，求角的正弦函数值、余弦函数值．6【投影展示】变式训练3已知角终边与直线重合，求角的正弦函数值、余弦函数值．若去掉“”这个条件呢？说明：变式2中由于未注明的正、负，故需分情况讨论，旨在让同学们学会分类讨论思想，而变式3中并没有给出终边上一点的坐标，需要自己任意选取一特殊点的坐标求解，也可以作出单位圆与该射线或直线的交点，借助方程组的思想求出交点坐标，套用定义求解．（四）反思升华由学生自己从以下三方面进行反思小结，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节：①本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？②你能准确判断

8、三角函数值在各象限内的符号吗?③正弦函数与余弦函数的定义在应用时应注意什么呢？（五）作业布置【投影展示】课本P16页练习3，4，5填书上，P20页A组1，3，做作业本上．补充作业