《2.4线性回归方程（1）》教案

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1、《线性回归方程（1）》教案教学目标：1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2.在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3.知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解(线性)相关系数的定义．教学重难点：重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．难点：回归直线方程的求解方法．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更

2、多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？(1)确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；(2)相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，

3、两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/C261813104-1杯数202434385064如果某天的气温是，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近，故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：(1)选择能反映直线变化的两个点，例如取这两点的

4、直线；(2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；(3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢？三、建构数学1．最小平方法：用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线与图中六个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量的六个值带入直线方程，得到相应的六个的值:.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以，我们用类似于估计平均数时的思想，考虑离差的平方和说明：是直线与各散点在垂直

5、方向(纵轴方向)上的距离的平方和，可以用来衡量直线与图中六个点的接近程度，所以，设法取的值，使达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)先把看作常数，那么是关于的二次函数.易知，当时，取得最小值.同理，把看作常数，那么是关于的二次函数.当时，取得最小值.因此，当时，取的最小值，由此解得.所求直线方程为.当时，，故当气温为时，热茶销量约为杯.2．线性相关关系：像这样能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系3．线性回归方程：一般地，设有个观察数据如下：……当使取得最小值时，就称为拟合这对数据的线性回归

6、方程该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于的二次多项式，应用配方法，可求出使为最小值时的的值．即结论：，(*)，说明：公式(*)的推导比较复杂，这里不作要求．四、数学运用例题　下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．机动车辆数／千台95110112120129135150180交通事故数／千件6.27.57.78.58.79.810.2131．下面是我国居民生

7、活污水排放量的一组数据(单位：10t)试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量．年份19951996199719981999200020012002排放量151189.1194.8203.8220.9227.7232.32.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量(单位：万件)之间有如下一组数据：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363

8、.50(1)画出散点图；(2)求线性回归方程．五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数的计算公式，算出．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数；②计算的积，求；③计算；④将结果代入公式求；⑤用求；⑥写出回归方程