《解一元二次方程》教案

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1、《解一元二次方程》教案教学内容1.给出配方法的概念,然后运用配方法解一元二次方程.2.理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.3.因式分解的探究及其方法.教学目标1.了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.2.通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目.3.会熟练应用公式法解一元二次方程.4.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程.重难点关键重点:1.讲清配方法的解题步骤.2.求根公式的推导和公式法的应用.3.应用因式分解法解一元二次方程.难点与关键:1.把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方.

2、2.一元二次方程求根公式法的推导.3.将方程化为一般形式后,对方程左侧二次三项式的因式分解.教学过程一、复习引入(学生活动)解下列方程:(1)x2-8x+7=0(2)x2+4x+1=0老师点评:我们前一节课,已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式,右边是非负数,不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.解:(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0(x-4)2=9x-4=±3即x1=7,x2=1(2)x2+4x=-1x2+4x+22=-1+22(x+2)2=3即x+2=±x1=-2,x2=--2二、探索新知像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来

3、解一元二次方程的方法,叫配方法.可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例:解下列方程:(1)x2=2(2)4x2-1=0分析:第1题直接用开平方法解;第2题可先将-1移项,再两边同时除以4化为x2=a的形式,再用直接开平方法解之.例:解下列方程:(1)x2+6x+5=0(2)2x2+6x-2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方.解:(1)移项,得:x2+6x=-5配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4由此可得:x+3=±2,即x1=-1,x

4、2=-5(2)移项,得:2x2+6x=-2二次项系数化为1,得:x2+3x=-1配方x2+3x+()2=-1+()2(x+)2=由此可得x+=±,即x1=-,x2=--(3)去括号,整理得:x2+4x-1=0移项,得x2+4x=1配方,得(x+2)2=5x+2=±,即x1=-2,x2=--2三、应用拓展用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6分析:因为如果展开(6x+7)2,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数y,那么(6x+7)2=y2,其它的3x+4=(6x+7)+,x+1=(6x+7)-,因此,方程就转化为y的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法.解:

5、设6x+7=y则3x+4=y+,x+1=y-依题意,得:y2(y+)(y-)=6去分母,得:y2(y+1)(y-1)=72y2(y2-1)=72,y4-y2=72(y2-)2=y2-=±y2=9或y2=-8(舍)∴y=±3当y=3时,6x+7=36x=-4x=-当y=-3时,6x+7=-36x=-10x=-所以,原方程的根为x1=-,x2=-用配方法解一般形式的一元二次方程:ax2+bx+b=0(a≠0)用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.1.当b2-4ab>0时,一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个不等实数根;2.当b2-4ab=0时,一元二次方程ax2+bx+b=0

6、(a≠0)有两个相等实数根;3.当b2-4ab<0时,一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)没有实数根.一般的,式子b2-4ab叫方程ax+bx+b=0(a≠0)根的判别式.用字母△表示.即△=b2-4ab.一元二次方程的判别式与根的情况有何关系?(1)当方程有两个不相等的实数根时,b2-4ab>0(2)当方程有两个相等的实数根时,b2-4ab=0(3)当方程没有实数根时,b2-4ab<0你能用公式法解方程2x2-9x=-8吗?解:2x2-9x+8=01.变形:化已知方程为一般形式;∵a=2,b=-9,b=82.确定系数:用a,b写出各项系数;△=b2-4ab=(-9)2-4×2×8

7、=27>03.计算:b2-4ab的值;4.代入:把有关数值代入公式计算;5.定根:写出原方程的根.用公式法解一元二次方程的一般步骤:1、把方程化成一般形式,并写出a、b的值;2、求出△=b2-4ab的值;3、代入求根公式;4、写出方程的解;定义:先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.例:解下列方程(1)(2)解:(1)把方程因式分解得→或∴(2)移项,合并

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