《2.3.2抛物线的简单几何性质》教学案2

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1、《抛物线的简单几何性质》教学案教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.教学重点：抛物线的几何性质及其运用.教学难点：抛物线几何性质的运用.教学过程：一、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程：图形方程焦点准线相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关

2、于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为(2)开口方向在X轴(或Y轴)正向时，焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴(或Y轴)负向时，焦点在X轴(或Y轴)负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，

3、y

4、也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y代y，方

5、程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率轴轴轴轴注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也

6、就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明．(反证法)假设抛物线y2＝2px存在渐近线y＝mx＋n，A(x，y)为抛物线上一点，A0(x，y1)为渐近线上与A横坐标相同的点如图，则有和y1＝mx＋n．∴当m≠0时，若x→＋∞，则当m＝0时，，当x→＋∞，则这与y＝mx＋n是抛物线y2＝2px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．解：由题意，可设抛物线

7、方程为，因为它过点，所以，即因此，所求的抛物线方程为．将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得x01234…y022.83.54…描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件

8、，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是(p＞0)．由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，即所求的抛物线标准方程为．例3过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF

9、｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线相切．四、课堂练习：1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=(B)(A)10(B)8(C)6(D)42．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为(B)(A)3(B)4(C)5(D)63．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=(C)(A)(B)(C)(D)4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是______(答案：