说题新课标ⅱ（理）第20题

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1、高考复习策略研究——新课标Ⅱ（理）第20题说题一、原题再现：20、(本小题满分12分)平面直角坐标系中，过椭圆的右焦点作直交于两点，为的中点，且的斜率为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．二、题目立意：本题考查学生对椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系等知识的理解与应用能力。第一问着重考查学生的分析与运算能力；将第二问设计为四边形面积的最大值的问题，体现了数形结合、函数与方程、化归与转化等思想，在学生解答过程中考查了学生逻辑思维能力，运算求解能力，推理论证

2、能力以及综合分析解决问题的能力，试题难度较大！三、分析与解答：第一问：设思路一：通性通法。直线与圆锥曲线方程联立,得到一元二次方程,在判别式Δ>0的前提下,应用韦达定理、中点坐标公式、等知识解决相关问题。解：由消：得，5由，得，……①由题意知直线与x轴的交点是椭圆的右焦点，得⇒………………………②联立解得①、②解得所以M的方程为：思路二：通性通法。观察直线OP的方程易求，与直线先求交点，较思路一能减少一点计算量。解：由解得：由消：得，得，……①由题意知直线与x轴的交点是椭圆的右焦点，得⇒…………

3、……………②联立解得①、②解得所以M的方程为：思路三：注意到为中点。弦中点问题，采用“点差法”，巧代斜率解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)由⇒=-⇒kAB=-OP的斜率为⇒=2，直线x+y-=0的斜率为-1⇒kAB=-1⇒-1=-⇒a2=2b2……①由题意知直线x+y-=0与x轴的交点F(，0)是椭圆的右焦点，则c=⇒a2-b2=3……②联立解得①、②解得a2=6，b2=35所以M的方程为：+=1☆总结：由于圆锥曲线的方程都为二次方程，因此在解决直线与圆锥曲线相交问题时，

4、往往涉及到较为复杂的代数运算，特别是含参的运算更为复杂，如何采用合理手段简化运算成为能否顺利解决问题的关键。第二问：求四边形面积的最大值，因为，所以四边形面积而的值固定，所以四边形面积变化的根本原因是的变化，只要能求出的最大值，此问便迎刃而解！解：联立方程组，解得A(,-)、B(0,)，求得

5、AB

6、=（注：此处也可以用弦长公式来求解，但不便于以后求直线CD的方程为：y=x+m中m的范围）依题意可设直线CD的方程为：y=x+mCD与线段AB相交⇒-

7、2＋4mx＋2m2－6＝0，因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3

8、CD

9、2=2(x3-x4)2=2[(x3+x4)2-4x3x4]=(9-m2)四边形ACBD的面积S=

10、AB

11、•

12、CD

13、=当m=0时，S最大，最大值为.所以四边形ACBD的面积最大值为.☆总结：本题考查了解析几何最值或取值范围问题中最常见的方法：代

14、数法。把几何问题代数化，建立目标函数，再通过求函数的最值或范围（二次函数，单调性，基本不等式，求导等）求解。四、变式与拓展：本题的难点是第二问求解四边形的面积的最值，为了彻底突破这一难点，让学生更好掌握求解四边形的面积的最值（范围）的解题思路与方法，我对试题做了多种改编，已达到学生融会贯通，活学活用的目的！设计变化思想一：因该四边形是由两条直线与椭圆相交而产生，所以改变两条直线的位置关系，我设计了如下五种变化题干：设椭圆的标准方程是，左、右焦点分别为求下列四边形面积的最值（范围）5设计变化思路一

15、：两直线过同一定点。如变化一垂直分别过两个不同的定点。如变化二相交相交不垂直：斜率有关系。变式三、变化四两直线过定点。变化五平行两直线不过定点。变化六☆变化一：过椭圆的右焦点做两条直线和，若，求四边形的面积的最值？☆变化二：过椭圆的右焦点直线交椭圆于，过椭圆的左焦点直线交椭圆于，若，且垂足为，求四边形的面积的最值？☆变化三：设分别为椭圆右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点，求四边形的面积最大值？☆变化四：过做两条直线与分别交椭圆于四点，已知求四边形最大值？☆变化五：过椭圆的右焦点直线交椭圆于，过

16、椭圆的左焦点直线交椭圆于，若，求四边形的面积的最大值？☆变化六：设直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，且，求四边形的面积的最大值？设计变化思想二：也可以，改变呈现试题的载体，把椭圆换成抛物线与双曲线，来进行试题改编五、背景与来源：我认为，本题的命制思想与来源有两处：第一问：来源于平时练习中的经典问题，弦中点问题。第二问：来源于2007年全国卷第21题；2008年全国卷2第22题。5①2007年全国卷（21）（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆