十八、几何证明选讲1(选修4-1)

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1、十八、几何证明选讲（选修4-1）1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.解析：,由直角三角形射影定理可得2.（2010北京理数12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝；CE＝。答案：5,3.（2010天津文数11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则的值为.【答案】【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。因为A,B,C,D四点共

2、圆，所以,因为为公共角，所以⊿PBC∽⊿PAB,所以=【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。4.（2010天津理数14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为。【答案】【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。因为A,B,C,D四点共圆，所以,因为为公共角，所以4⊿PBC∽⊿PAB,所以.设OB=x，PC=y，则有，所以【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是

3、考查的热点。5.（2010广东理数14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.解析：．因为点P是AB的中点，由垂径定理知，.在中，.由相交线定理知，，即，所以．6.（2010广东文数14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB,AB=AD=,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF=解：连结DE，可知为直角三角形。则EF是斜边上的中线，等于斜边的一半，为.7．如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，弧，交于，且，则_______

4、ACPDOEFB8.（2010湖南理数10）49.（2010辽宁理数22）如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（I）证明：（II）若的面积，求的大小。证明：（Ⅰ）由已知条件，可得因为是同弧上的圆周角，所以故△ABE∽△ADC.……5分（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin=AD·AE.则sin=1，又为三角形内角，所以=90°.10分10.（2010江苏卷21）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求

5、证：AB=2BC。[解析]本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）证明：连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB。因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=900。4又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。即

6、2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。4