第四天(导数)

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1、导数一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1．在区间上的最大值是2题型二：利用导数几何意义求切线方程2．求下列直线的方程（1）曲线在P(-1,1)处的切线；（2）曲线过点P(3,5)的切线；解：（1）所以切线方程为（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线

2、斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1、函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数.2、函数在点处的导数的几何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.4、导数的运算法则（1）.（2）.（3）.5、会用导数求单调区间、极值、最值6、求函数的极值的方法是：解方程．当时：(1)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；(2)如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=+lnx则（）导数A．x=为f(x)的极大值点B．x=为f

3、(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.4.【2012高考辽宁文8】函数y=x2㏑x的单调递减区间为（A）（1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【解析故选B6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A)1(B)3(C)4(D)8【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，

4、2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立解得故点A的纵坐标为47.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________【解析】函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即.8..【2012高考上海文13】已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为【解析】，∴∴围成的面积=+=。1．（2009江西卷文）设函数．导数（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．【解析】：(1),因为,,即恒成立,所以,得，即的最大值为(2)因为当时,;当时,;当时,;所以当时,取极大值;当时

5、,取极小值;故当或时,方程仅有一个实根.解得或.2.（2009陕西卷文）已知函数，求的单调区间；若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。【解析】：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，导数在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，结合的单调性可知，的取值范围是。[例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？错解：。分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导.解：　　　　　　∴f(

6、x)在x=1处不可导.注：，指逐渐减小趋近于0；，指逐渐增大趋近于0。总结：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.[例3]求抛物线上的点到直线的最短距离.解：根据题意可知，与直线x－y－2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x－y－2=0的距离最短，设切点坐标为（），那么,∴∴切点坐标为，切点到直线x－y－2=0的距离，