离散傅立叶级数（DFS）

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1、（原创）离散傅立叶级数（DFS）（图）上一回说到，非周期信号的离散时间序列，理论上可由离散时间傅里叶变换（DTFT）求出其频谱函数，一般是连续频谱。但连续频谱不便于计算机处理，必须进一步探索路子，建立时域离散和频域离散的对应关系。一、离散时间周期序列如果对一个连续时间周期信号，利用单位样值序列（类似于狄拉克梳状函数）（1）进行抽样，则可得到离散时间周期序列：（2）如果以连续时间周期信号为三角波为例，则抽样后的离散时间周期序列如下图所示：图1离散时间周期序列举例离散时间周期序列的频谱是否也是离散周期序列呢？二、DFS的定义我们知道，对于连续时间周期信号，可展开为

2、傅立叶级数（3）而对于序号n以N为周期的离散时间周期序列，考虑到（4）也可以展开为傅立叶级数（5）其中傅立叶系数（6）当整数k取值变化时，上式是以N为周期的序列。可以看出式（5）的级数也是以N为周期，所以求和只限于N项。科学上把（7）定义为离散时间周期序列的离散傅立叶级数系数（DFS），记为（8）其逆变换即（9）上述两式构成一个离散周期信号的离散傅立叶级数对。它们都是以N为周期的离散周期序列。注意：离散傅立叶级数（DFS）由于是有限项求和，所以总是收敛的。三、离散时间周期序列的频谱由式DFS定义式（8）和离散时间周期序列的表达式（2）可知，一个离散时间周期序列

3、可以分解为有限个（N个）无穷序列之和，每个序列都是无穷多个谐波分量，频率间隔为Ω1＝2π/N，第k次谐波数字角频率为Ωk＝kΩ1=k2π/N。因为整数k和n都是以N为周期的，离散时间周期序列的频谱也是频域离散的周期序列。例：周期为N=10的单位矩形周期序列如下图：图2单位矩形周期序列（N=10）其离散傅立叶级数（DFS）为（10）其幅度频谱为（11）频谱图如下图：图3单位矩形周期序列（N=10）的频谱可见，离散时间周期序列的频谱也是频域的离散周期序列。离散傅立叶级数（DFS）对周期序列实现了时域离散和频域离散的对应关系。四、DFS的局限性在离散傅里叶级数（DF

4、S）中，离散时间周期序列在时间n上是离散的，在频率Ω上也是离散的，且频谱是Ω的周期函数，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。因此，还有必要对有限长序列研究其时域离散和频域离散的对应关系。详情且听周法哲下回分解。