初等变换法习题

《初等变换法习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、习题2—41．求解下列微分方程：（1）；解方程组有解.令，代入原方程得，这是齐次方程，令，则上述方程化为.分离变量后积分得.代回原变量，最后得原方程的通积分为.（2）；解由，因此，令，则原方程化为，分离变量后积分得，代回原变量，得原方程的通积分为.（3）；解这是的伯努里方程，令，代入原方程，化简得，这是线性方程，它的通解为，即.显然有特解.2．利用适当的变换，求解下列方程：（1）；解将方程改写为.此方程为齐次方程.令，则方程化为.变量分离积分得.代回原变量，得原方程的通积分为.（2）；解将方程改写为

2、.令，则方程化为，即.方程组有解.令，代入原方程得，这是齐次方程，令，则上述方程化为，分离变量后积分得.代回原变量，最后得原方程的通积分为.（3）；解将方程改写为.令，则方程化为.方程组有解.令，代入原方程得，这是齐次方程，令，则上述方程化为，分离变量后积分得.代回原变量，最后得原方程的通积分为.3.求解下列微分方程:(1);解这是黎卡提方程,它有特解,作变换，于是有.这是伯努里方程，令，则方程化为，解此线性方程得,故原方程的通解为.(2);解这是黎卡提方程,容易观察是方程的一个特解,作变换，于是有

3、.这是伯努里方程，它有解，当时，令，则方程化为，解此线性方程得,故原方程的通解为.此外还有特解.4．试把二阶微分方程（1）化成黎卡提方程.解令，则，.代入（1），整理后得黎卡提方程.5．探照灯的反光镜（旋转面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？解设所求曲面是由曲线旋转而成.取旋转轴为轴，轴的方向平行于光的反射方向，使点光源位于坐标原点（如图）.过曲线上任一点，作切线，它与轴的交角记为，由光的性质：入射角等于反射角，即，记与轴的交角为，则.由于，，又，从而可得方程，解出，有.作变换

4、，方程化为.变量分离后积分，有.令，有，积分，得，代回原变量得，其中为任意常数，它是一族抛物线.因此，探照灯的反光镜面应是旋转抛物面的形状，它的曲面方程在空间中应表示为.