线性代数第五章常见题型

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1、第五章习题课(常见题型)一、求数字型矩阵的特征值与特征向量1.求的特征值和特征向量。2.设是矩阵的一个特征向量，则的值为()(A)5,2.(B)1,3.(C)-3,1.(D)-1,3.3.4.设矩阵有3个线性无关的特征向量,则,应满足的条件是。5.设矩阵为可逆矩阵,向量=是矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，其中是矩阵的伴随矩阵，试求和的值.二、求抽象型矩阵的特征值与特征向量6.设三阶矩阵的特征值为，求的特征值.7.设是3阶矩阵,的特征值是,则在下列矩阵中为可逆矩阵的是()(A)(B)(C)(D)8.设为阶可逆矩阵，且有个线性无关的特征向量，证明与及与都有相同的个线性无关

2、的特征向量.9.设是矩阵的两个不相同的特征值，是的分别属于的特征向量，则()(A)对任意，，都是的特征向量(B)存在常数使是的特征向量(C)当时，不可能是的特征向量(D)存在唯一的一组常数，使是的特征向量10.设是三阶矩阵的对应于特征值的两个线性无关特征向量，是的对应于特征值的特征向量，且，则()(A)是的特征向量，其中是任意常数.(B)是的特征向量，其中是任意常数.(C)是的特征向量.(D)是的特征向量.三、矩阵相似问题11.阶矩阵有个不同的特征值,是矩阵与对角阵相似的()(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件12.设为

3、四阶对称矩阵，且若的秩为3，则相似于()13.已知且与相似，求的值.14设是阶矩阵，且相似于，则必有()(A)(B)和有相同的特征值和特征向量.(C)与都相似于一个对角矩阵.(D)对于任意常数均相似于.四、矩阵可对角化的判别问题15.设，问为何值时，方阵可对角化？16.已知为四阶矩阵，若满足且行列式(1)求的特征值；(2)证明可对角化；(3)计算行列式17.设为阶矩阵，满足(1)证明矩阵可对角化；(2)求可逆矩阵，使为对角矩阵.18.设3阶矩阵满足，且，则是否相似于对角阵？若是，则给出对角阵，若不是则给出理由.五、对称阵对角化问题19.已知实对称矩阵,求正交矩阵使为对角阵

4、。20.设矩阵,已知线性方程组有解但不唯一，求：(1)的值；(2)求正交矩阵使为对角矩阵.21.设三阶实对称矩阵(1)求一个正交矩阵及对角矩阵使得(2)求一个对称矩阵使得22．设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是线性方程组的两个解.（1）求的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵和对角矩阵，使得.六、反求矩阵问题22已知线性方程组有无穷多解，而是三阶矩阵，分别是对应于特征值1,,0的特征向量，求.23.设三阶实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值.若都是的对应于特征值6的特征向量.(1)求得另一种特征值和对应的特征向量；(2)求矩阵.