含参不等式中的参数最值问题

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1、5中等数学含参数不等式中的参数最值问题!程峰（安徽省巢湖市烔炀中学，!"#$%!）（本讲适合高中）!!#&*!*#&+!+!"+，!$［$，&］，在一定条件下，给出一个带参数的不等"式，求使不等式成立的参数的最大（小）值，这!!!是近年来在数学竞赛中非常活跃的题型)下即+!"+!，"（!）"面举例说明这类问题的解法)则!!+!"（!）例!求最小的正数!，使得存在正数，%（!$［$，&］）)""当$"!"&时，不等式"（$）令!&$，得$%)但"（$）,/)所得!!"#&*!*#&+!"!+"矛盾表明!,!是满足条件!的最小数)成立)使不等式解：对任意的!$［$，&］，有恒等式!!#&*!*#&

2、+!+!"+（!$［$，&］）（#&*!*#&+!+!）（#&*!*"!!"#&+!*!）（#&+!*&）,+!!!!!!成立)即+"+成立的最小正整数"，等于"（!）"-在闭区间上满足"（!）"（!$［$，&］）的最小正整数"")$.#&*!*#&+!*!因此，",234"（!）)$"!"&!!!!"#&*!**&+!**!对任何#、$%$，有/#/!!##*#$"#（!#*$）)#,(&*)*(&+)*!!!在#中，令#,&*!，$,&+!，得!,/，$"#&+!"&，#&*!*#&+!"!)0在［$，&］上函数于是，再次得到&（#&*!*#&+!*!）&"（!）,!"（!）,（#&*!*

3、#&+!*!）!!·（#&+!*&）·（#&+!!*&）满足$""（!）"/)!"（!#&+!*&）"/)故对!$［$，&］有另一方面，上面已经指出"（$）,/，因!!+!!#&*!*#&+!+!,"+)此，有234"（!）,/)"（!）/$"!"&如果对适合$.!.!的某数!及"1$，故满足"的最小正数",/)下列与上述类似的不等式成立：综上知，适合条件的最小正数!,!，此时一定存在"（事实上"%/）使原不等式成!本文收稿日期：!$$&’$#’&(修回日期：!$$&’&!’!$)"")年第+期.立!#*))%’%’（&’%&’&）#$·(%’%)!例!确定最小自然数!，使得对任意的##%%&

4、##%(#对所有的非负实数’，’，⋯，’都成立；"!［"，#］及任意的#!"有#)##（)）对于这个常数$，确定等号成立的充!#"（#$"）%’!（#&#）要条件!解：由算术—几何平均不等式有（第*"届012）#&!#解（：#）当非负实数’#，’)，⋯，’#不全为!!"[（#$"）]"#%’%’&##%%&##!"时，记’(#，!"&#[（#$"）])##(!!(%’%)#&!#&!%(#!#!!##%’%’&’（!’%&’&&’!）于是，"（#$"）##&!!((##%%&%!##!（#&!）#*!（#$"）!(%’%)当且仅当"((即"()时等号%(###&!))3%’%’（&’%&’&）

5、成立!##%%&###!)这就是说，当"(#&!（!［"，#］）时，(%’%’&[(%’!)$)%’%’&##%%&##!(###%%&##!##"（#$"）取得最大值!于是，可把问题改成：)]$%’!确定最小自然数!，使得对任意的#!"有!(#（!&%，&）!##!##))（#&!）#&!%（#&#）’!!(%’%’&(%’!)$)(%’%’&)##%%&##!(###%%&##易验证：当数对（!，#）(（#，#），（)，#），$%’%’&’（!’%&’&&’!），##%%&%!##（’，’）时，不等式!不成立!所以，要对一切)4式!’$$$)’&’$(!#!"成立，只能!$*!)3$)’&

6、’$(下证!(*时，式!成立，即对一切#!")###有**#（##&#）’%（#&*）#&*!($)(’$)&$(#，*--事实上，当#(#，)，’时可直接验证!#其等号成立的充要条件是’(且(("，*当#$*时有###&**#’4$$，$(，当’(’(⋯(’("*#（#&#）-567-#)##&*("#+,（)#）（)#）（)#）（)#）##$（*#&#）’"时也适合!###+&-#&（#$*）#&（’#&#）（)）当$(时，’(且(("的充要条#-*#&*))件是#&.#&#/#&-#&#+(%(#&*，##&*#&*)(%’%)(*%’%’&，*#’#&*即*#（#&#）%（#&*）!%

7、(###%%&##综上，求得!的最小值为*!且%’%’&’（!’%&’&&’!）("##%%&%!##例#设#是一个固定的整数，#$)!#)’%’%()%’%’&，（#）确定最小的常数$，使不等式%(###%%&##6中等数学且!%!%"%##$%2$2+!!!"!"""#"$#$%’&!%!%"%##$!"!"""#"$2$2+!!#%，%，⋯，%中任意三项之积为$，故’,-.#%!’$$’即其