《(最新)3-4达朗伯-拉格朗日原理》

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1、第二章动力学力的元功第二章动力学力的元功第3章第3章牛顿定律与达常力沿直线作功:A=Fs牛顿定律与达若是全微分，则：变力沿曲线作功:力取瞬时值;曲线取微弧¶¶¶AAAddddAxyz=++iii功用点积表示F(t)iiii¶¶¶xyziii第4节dr矢量点积的物理意义：而ddddAFxFyFz=++riixiiyiizi达朗伯-拉格朗日原理投影；功rr+d所以力的分量应满足全微分条件：-拉原理力在无限小位移上做的元功：-拉原理FFF===¶¶¶AAAiii;;ixiyiz¶¶¶xyzd¢Ai=Fi×dri=Fixdxi+Fiydyi+Fizdzi这类力称为有势力或保守力。元功用符号d

2、¢而不d用表示，因为它不一势函数就是功的负值。定是某个函数的全微分。2002年10月28日第二章动力学力的总功第二章动力学力系的元功理想约束第3章第3章第3章牛顿定律与达力所做的总功：牛顿定律与达力系在无限小位移上做的元功：牛顿定律与达虚功：力在虚位移上所做的元功。MMii11nnnrrAi=òòMMii00Fri×d)i=（Fdixxi++FiydyiFdzizid¢A=ååFri×di=(FxFyFzixidd++iyiizid)dA=×åNriidii==11i=1总功(曲线积分)一般与路径(曲线形状)有关。例如，摩擦力。F=+FF(ei)()理想约束：约束反力在质系任意虚位移

3、上所iii(e)(i)做的虚功恒等于零的约束。d¢A=d¢A+d¢A若是保守力，满足全微分条件，则有：nrrMN×dr=0-A=（i1Fdx++FdyFdz)--åii拉原理iòixiiyiizi拉原理总功=内力功+外力功拉原理i=1Mi0M==-i1dAA()()MAM对非定常约束，虚功为零时，实功一òiii10iiMi0定为零吗？于是总功与路径无关。(状态函数)例如，重力。1理想约束理想约束惯性力的概念第3章第3章第3章牛顿定律与达光滑曲面约束光滑接触固定球铰牛顿定律与达无滑动的滚动完全粗糙接触不可伸长的绳子牛顿定律与达物体受力作用，运动状态发生变化。物体惯性反抗运动的变化，对外

4、界产生反作N刚体2N刚体2drB用，这种抵抗力称为惯性力。rOrAPQNQNr22drNrN¢drB1PrN1PNNCANr^d刚体1F刚体1rrdrr=0drC=0N×ddr+ABNr¢×=0N×=dr0dr-dr在切平面上odrr-drr=012rrN×=dr012-2rrN×dr=0-C-拉原理Nr×=do拉原理2rr拉原理åiiNr×=dåiii=1rrrir=1rrNrr×-=(dd)0112Nrr112×-=(dd)0惯性力的大小等于质量乘加速度，方向与加速度相反，作用在使物体运动的施力物体上。运动的光滑曲面也是理想约束。达朗伯-拉格朗日原理达朗伯-拉格朗日原理达朗伯-拉

5、格朗日原理的证明第3章第3章第3章牛顿定律与达质系Pi受主动力Fi作用，受理想、双面约束，牛顿定律与达证明：由牛顿定律出发牛顿定律与达证明：由达朗伯-拉格朗日原理出发可能运动ri=ri(t)是真实运动的充要条件是：牛顿定律只适用于自由质系，用反力代替约束由达朗伯-拉格朗日原理和理想约束的定义：主动力与惯性力在该系统任意虚位移上的元功Fii+Nr==mii&&,in1,2,,Lnn之和等于零，即åå(Fi-mi&&ri)0×ddri+Nrii×=引进惯性力，把动力学问题化为“静力学”问题ii==11nr&r&rF+-Nrm&&==0,in1,2,,Lnå(F-mr)×dr=0动力学普遍

6、方程iiii(F+Nrr-m&&)0×=diiiiåiiiiii=1i=1平衡力系在任意虚位移上所作的功为零：-拉原理牛顿定律—将约束用反力代替，直接求各质-拉原理nrrrr-拉原理用约束反力代替约束后，质系就变成了自å(Fi-+×=mi&&riiiNr)d0;点真实运动以及主动力、约束反力的关系。由质系，所有虚位移都是相互独立的，故i=1nrr达朗伯-拉格朗日原理—先考虑约束对运动的理想约束åNrii×=d0Fii+-Nrmii&&==0,in1,2,,L限制，在可能运动中找出真实运动。i=1nrrrå(Fi-×=mirr&&ii)0d动力学普遍方程Fii+Nr==mii&&,i

7、n1,2,,L牛顿定律牛顿定律和达朗伯-拉格朗日原理是等价的。i=12例1例1牛顿定律例1达朗贝尔-拉格朗日原理第3章第3章第3章无伸长绳是理想约束牛顿定律与达建立如图所示系统的运动微分方程。牛顿定律与达解除绳子约束，代以反力：y牛顿定律与达o约束允许的运动：ddrr12=-aa12=-o运动分析aa12=-nTy受力分析TT¢=å()0Frri-mi&&ii×=dD-L原理xT'i=1am列写运动微分方程1(m1ga-m1112)×ddr+-(mmgar