感受“模型”的力量——“鸡兔同笼”教学新解

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1、感受“模型”的力量——“鸡兔同笼”教学新解许卫兵/执教朱乐平/评析【备课思考】“鸡兔同笼”作为一种经典名题，在国标新教材中，不少版本都有编排。比如，北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中用6个页码详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。除此之外，还有名师在二年级用“画图法”、在六年级用“二元一次方程组”来生动地演绎它。近来，我在思考如下几个教学疑问时，也将目光聚焦到“鸡兔同笼”：一是学生对各门学科的学习方

2、法有着一定的共性，但对数学的学习是否有着“属于数学”的方法？这种方法是不是应该在各年级的教学中有所渗透，到高年级有所明示，作为小学向初中在学习上的一种过渡？二是尽管“鸡兔同笼”各年级都可以作为教学内容，且有着不同的目标指向，但对于六年级而言，是否可以用来让学生“从已有的经验出发，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程”，从而更好地认识数学？好多小学生升入初中后学习数学时表现出极大的不适应，是否与他们缺乏必要的“模型”意识和举一反三的能力有关？三是郑毓信教授在《数学教育哲学》中说：“数学是模式的科学”，“数学教学的基本任务就在于帮助学习者

3、逐步建立与发展分析模式、应用模式、建构模式与欣赏模式的能力”，我们怎样将这样的理性论断转化为可感的教学行为，让学生在学习中感受到一些数学问题所具有的“模型”的力量呢？带着这样的思考，我在六年级进行了“鸡兔同笼”数学活动课的教学尝试。【教学过程】一、揭示课题。师：同学们请看屏幕，今天我们要研究——（生齐）鸡兔同笼。（板书：鸡兔同笼）。知道“鸡兔同笼”是什么意思吗？生1：就是把鸡和兔关在一个笼子里。生2：鸡兔同笼是一种数学题目，就是告诉我们鸡和兔的头共有几只，脚共有几只，求鸡兔各有几只。师：是的，鸡兔同笼是一种数学问题（板书：问题）。早在1500多年以

4、前，我国的古典著作《孙子算经》中就记载着这样的数学趣题。（出示：今有鸡兔同笼，上有8头，下有22足。问鸡有几只？兔有几只？）师：题目中告诉了我们哪些信息？生：鸡和兔共有8个头，22只脚。生：还有两个条件：鸡有两只脚，兔有四只脚。师：很好，你还看到隐藏着的两个条件。大家会解答这个问题吗？动笔试一试吧。不能解决的，也可以同桌先交流交流。二、尝试探究。1．自主练习，展示做法。生1：我先用22－8×2=6（只），我是想假设全部是鸡的话，8只鸡就有16只脚，而22减去16还多出6只。也就是有些兔也当成鸡了，一只兔当成一只鸡就会少算2只脚，再用6÷2=3，就是

5、兔有3只，鸡有8－3=5只。师：大家听懂了吗？他是把鸡和兔全部假设成鸡了，这种方法（板书：方法）很不错。生2：我是全部假设成兔，总共有8×4－22=10（只）脚，一只鸡当成一只兔就会多算2只脚，再用10÷2=5（只），就是鸡有5只，兔有8－5=3只。师：这两位同学的方法有什么相同之处吗？生：都是用的假设法。（板书：假设）师：还有和他们的解法不一样的吗？（学生还提出用方程、画图等方法解决，教师一一加以评价并让学生比较不同的解法，说一说自己喜欢哪种方法）生1：我喜欢方程解法，因为方程顺着题目的意思想起来比较方便。生2：我喜欢画图的方法，因为画图既有趣又

6、方便，还特别好懂。师：这些解法各有各的特点，它们既有联系又有区别，既有优长也有缺陷。你们有没有发现，画图的方法、方程的方法和刚才这两位同学使用的假设法有共同的地方吗？生：都含有“假设”的意思。师：看得很准。“假设法”确实是解决“鸡兔同笼”问题的典型思路。2．资料介绍，沟通联系。师：你想知道古人是如何解答这个问题的吗？（屏幕显示：足数÷2－头数=兔数头数－兔数=鸡数）师：看起来很复杂的“鸡兔同笼”问题，古人解起来就这么简单啊。咱们用这种方法口算一下上面这道题，结果和我们刚才算的一样吗？学生口算，教师板书：22÷2－8=3（只）……兔8－3=5（只）…

7、…鸡师：老祖宗的方法真是太简单了，其中的道理你能讲清楚吗？（学生多人讲，但均说不清楚）师：这个方法看起来很简单，要理解它还真不容易呢。其实对这个问题，不但咱们中国人有研究，外国人对它也有关注，在匈牙利出生的美国教授波利亚，他讲了一个很有趣的故事解释了这种解法的道理。（课件演示，教师相机解释）：草地上有一群鸡兔在玩耍，突然，鸡对兔说：“我们的本领可大了，可以做金鸡独立”。说着每只鸡就抬起一只脚，只用一只脚站着。兔子们见了，也不甘示弱：“这有什么了不起，看看我们兔子作揖。”说完，每只兔就把两只前脚提起来，只留下两只后脚站着。哈哈，这下有趣了，原来的鸡都

8、变成了“独角鸡”，原来的兔都变成了“双脚兔”。看着图示，你发现什么了？生1：现在草地上鸡和兔的头数没变，站立的脚数只剩下原