高一数学必修1函数的基本性质

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1、高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利

2、用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对

3、于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

4、，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2∈D，且x1

5、性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：第4页共4页增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的

6、最大值。注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f

7、(x)在x=b处有最小值f(b)；4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为。四．典例解析【奇偶性典型例题】例1．以下五个函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是_________点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度

8、不大，解决问题时应先考察函数的定义域，