发散性思维能力培养初探

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1、发散性思维能力培养初探中学数学教学大纲中明确指出，发展思维能力是培养能力的核心。在抽象思维过程中，按照思维展开的方式不同，分为集中性思维（也叫求同思维）和发散性思维（也叫求异思维）两种。集中性思维是从同一来源材料探求一个正确答案的思维过程，思维方向集中于同一方面，即从同一方面进行思考。发散性思维是从同一来源材料探求不同答案，思维方向分散于不同方向，即从不同方向进行思考。在教学过程中，我们常常会遇到一些学生，他们思考问题的方法和书本上写的、教师讲的不一样，这实际上是学生发散性思维的一种表现。发散性思维一般具有这样三个基本特点：思维方

2、向的多向性、思维阶段的超前性，思维方式的独创性。发散性思维富于联想，思路开阔，普于分解组合、引伸推广、灵活应用各种变通的办法，善于从不同对象中产生分化因素。任何一个富有创造性的全过程，都要经过发散性思维到集中性思维，再从集中性思维到发散性思维，多次循环才能完成。我国数学家徐利治教授指出：“数学上的新思想、新概念和新方法往往来源于发散思维。他总结概括出数学创造能力的公式：创造能力=知识量×发散思维能力”。这充分说明了发散思维在数学创造活动中的重要作用。在培养学生的发散思维能力方面，笔者结合自己的教学实践，谈一点个人愚见，由于经验不足

3、，能力所限，挂一漏万，在所难免，恳请同行们赐教。首先，在教学过程中应该注意培养的联想能力，给学生以思维发散的机会。比如在讲解三角恒等变形时，一开始便让学生总结恒等变形有那些规律。通过引导得出下面的口决——“切化弦，繁化简，“1”代换。两头凑。”其中“1”代换指：sin2α+cos2α=tanαcotα=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α=2sin300=tan450=cot450=……=1.第二，通过探讨解决某个问题的各种可能性来训练学生的发散性思维能力，经常“一题多变”、“一题多解”的教学活动。例如HL公理利用直角三

4、角形的性质——“斜边的中线等于斜边的一半”证明比利用拼凑法简洁，学生容易接受，而且可以使公理体系简单。第三，在教学过程中要注意某些问题进行适当的引申与推广。例如在平面几何中，当学生完相交弦定理后，启发学生提出这样一些问题:当相交弦中的一条为圆的直径时，结论如何？当另一条弦垂直于圆的直径时，会得到什么样的结论?当交点在圆外面，两相交直线分别为圆的割线时，又得到什么样的结论？若其中一条为圆的切线（可视为与圆的两个交点重合）时呢？若两条交线皆为圆的切线呢？学生经过积极的思维活动，并应用相似三角形判定及性质来论证结论。进而在启发学生探求相

5、交弦定理、切线长定理等规律性东西，从而得出新的结论；两相交直线分别与圆相交时，在一条直线自两直线的交点到该直线与圆的两个交点的距离之积相等。在这一系列的活动中，可以看出：学生的认识是不断深化的，思维活动是积极发展的，新的知识在学生的不断探索中产生。每一道数学命题都是由条件和结论两部分构成的，且通过一定的形式联系并相互制约着，其中一方发生变化，必然影响另一方发生一种或多种变化。因此，当命题的结构发生变化时，必然会产生新的命题。教学中，若能注意从学生已有的知识出发，变换问题的条件，引导学生思考：能得到什么？结果是什么？为什么？等等。从

6、而探索新的结论，并对所提出的新结论进行论证，再按知识的结构，进行整理、归纳，寻求规律。这不仅对学生的推理论证能力有严格的要求，而且当学生养成了通过变换原有问题的结构而探索新问题的习惯，无疑地有利用提高学生的发散性思维能力。第四，在数学过程中，注意变换问题的结构，鼓励学生质疑。科学是认真的，严谨的，实事求是的。有人说，科学最基本的态度之一就是疑问，科学的最基本精神之一就是批判。前人为我们建立了庞大的科学体系，绝大多数科学工作者所做的不过是在这些科学体系上添砖加瓦。于是，我们接受一个个现有的结论，并奉之为科学的真理，极少去怀疑它们，甚

7、至极少想到去怀疑它们，疑问的态度和批判的精神早已被人们遗忘。科学体系自身具有神奇的魅力，但科学体系的魅力绝不同于科学本身，恰恰相反，这种魅力往往成为科学超越现有体系的障碍。比如数学，曾经被认为是精确论证的顶峰，真理的化身，是关于宇宙的真理，它的严格与周密使得即使一次次数学危机也没有动摇大多数数学家们对数学真理化的坚信。但在数学家们能够欢呼整个数学大厦的完成之前，他们却发现大厦基础残破不堪，不忍卒睹。科学体系的魅力本身并没有错，错的是我们的态度。在数学大厦如此风雨飘摇的今天，纯粹数学家们依然高傲地据守着自己的阵地，认为自己是真正的真

8、理追求者，并驱逐一切企图不按规矩进入自己领地的异端（如应用数学家们）。不仅仅纯粹数学家们如此，其它许多学科也同样如此，只是还没有纯粹数学家们那样的自我优越感。科学从来是与现实密切相关的，正是对于现实的研究越来越深入，越来越精确的描述才使得科学有无限