2004考研数学试题线性代数综述

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1、2004考研数学试题线性代数综述中国考研网chinakaoyan.com制作2004年线性代数参考题综述李永乐今年线性代数共有20个考题，但数学一与数学二有4个题完全一样，另一题的题型仍是一样的.区别仅在方程组未知数的个数是n与4，而数学三与数学四有一个题完全一样，实际上有14个不同的考题，所涉及的知识点有：含参数的3阶、4阶及n阶行列式的计算，通过矩阵方程转换到抽象行列式的计算.矩阵方幂的计算（涉及相似、分块、对角等）、初等矩阵性质的运用、矩阵等价、AB=0、正交矩阵几何意义、秩的概念与性质.含参数向量的线性表出、由矩阵秩

2、判断向量组线性相类.齐次、非齐次线性方程组求通解、解的性质的运用、基础解系中向量个数的判定与求法.求矩阵的特征值与特征向量、相似对角化的判定与计算、实对称矩阵特征值性质、由特征向量反求矩阵A.二次型的秩纵观04年考题，难度上比03年略有下降，要重视对基本概念、基本方法及原理的考核，注重知识点的衔接与转换，试题的灵活性有所加强.从阅卷反映出的问题看，有些同学复习备考不扎实、有动手晚仓猝上阵之嫌，有的考生计算能力实在太差，基本计算错误屈层出不穷，也有些同学在概念、原理的理解上有偏差，逻辑推理不严谨，…….下面通过对几个考题的分析

3、，希望对05年考研同学如何复习线代能有所帮助.0−10A=100例1（04，4）设00−1，B=P−1AP，其中P为3阶可逆矩阵，20042则B−2A=______________.[分析]本题考查n阶矩阵方幂的计算.20−10−10−1−10==因为1010100−1利用分块矩阵的方幂nnA0A0=0B0Bn第1页共5页2004考研数学试题线性代数综述中国考研网chinakaoyan.com制作20−10

4、−1002A=100=0−10易知00−1001200421002从而A=(A)=E−1那么，由B=PAP有2−1−1−1−1−12B=(PAP)(PAP)=PA(PP)AP=PAP2004−12004−1因此B=PAP=PEP=E100−10030020042B−2A=010=20−10=030故00100100−1210A=1201001**例2（04，2）设矩阵，矩阵B满足ABA=2BA+E，其*中A为A

5、的伴随矩阵，E是单位矩阵，则

6、B

7、=_____________.**[分析]由于AA=AA=

8、A

9、E，易具本题

10、A

11、=3，用A右乘矩阵方程的两端，有3AB=6B+A⇒3(A−2E)B=A3⇒3

12、A−2E

13、

14、B

15、=

16、A

17、3010

18、A−2E

19、=100=1100−1又因，故

20、B

21、=9[评注]填空题难度不大，计算量也不会太大，主要考查考生对基本概念、定义、公式、基本定理、基本性质和基本方法的识记、理解、掌握和简单运用.同时考查快捷准确运算能力和简单推理能力.鉴于此考生在复习时要注重基础，对基本运算要正确熟练.要提高运算能力，不能华而

22、不实，浮燥.1例3（04，2）设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关（D）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关[][分析]设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB=0，那么r(A)+r(B)≤n第2页共5页2004考研数学试题线性代数综述中国考研网chinakaoyan.com制作由于A、B均非零矩阵，故0

23、的列向量组线性相关.由秩r(B)=B的列秩，知B的行向量组线性相关.故应选（A）3例4（04，2）设n阶矩阵A与B等价，则必有（A）当

24、A

25、=aa≠0时，

26、A

27、=a（B）当

28、A

29、=aa≠0时，

30、B

31、=a（C）当

32、A

33、≠a时，

34、B

35、=0（D）当

36、A

37、=0时，

38、B

39、=0[分析]所谓矩阵A与B等价，即A经初等变换得到B，而A与B等价的充分必要条件是A与B有相同的秩.经过初等变换行列式的值不一定相等，也不一定是相反数.例如，若把矩阵A的等1行乘以5得到矩阵B，那么A与B等价，而

40、A

41、=a时，

42、B

43、=5a，可知（A）与（B）均不正确.

44、若

45、A

46、≠a，说明r(A)=n，而

47、B

48、=0说明r(B)

49、A

50、=a，秩r(A)

51、B

52、=0，即（D）正确.[评注]选择题主要用于考查考生对数学基本概念、基本方法的掌握程度以及比较、判别能力.还可以用于鉴别考生易于出现