非2-闭极大子群指数为素数幂的有限群

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1、数学年刊2013，34A(3)：285—290非2一闭极大子群指数为素数幂的有限群木李士恒施武杰提要设G为有限群，如果G的每个非2一闭极大子群的指数均为素数幂，那么c／s(c)PSL2(7)或1，其中s(a)为G的最大可解正规子群．关键词有限群，2一闭，极大子群MR(2000)主题分类20D10中囝法分类O152．1文献标志码A文章编号i000—8314(2013)03。0285—061引言我们知道如果群G可解，那么G的每个极大子群的指数都是素数幂．但是其逆命题不成立．Guralnick[】应用单群分类定理证明了如下定理．定理1．1[】推{仑。如果有限群G的每个极大子群的指数均为素数幂，则

2、c／s(c)PSL2(7)或l，其中s(c)为G的最大可解正规子群．进一步，郭秀云【]对极大子群进行了限制，得到了如下结论．定理1．2[。]定理如果有限群G的每个非幂零的极大子群的指数均为素数幂，则a／s(a)PSL2(7)或1，其中s(a)为G的最大可解正规子群．本文中我们对极大子群做进一步的限制，得到了如下结论．定理1．3如果有限群G的每个非2一闭极大子群的指数均为素数幂，则c／s(a)PSL2(7)或1，其中s(c)为G的最大可解正规子群．显然，非2闭极大子群一定是非幂零极大子群，于是定理1．3可看作是定理1．2的推广．2定义定义2．1Is]167页设日为G的子群．如果存在G的子群，

3、使得HK=G，那么称是日在G中的广义补．本文2012年4月13日收到，2012年10月11日收到修改稿．郑州航空工业管理学院数理系，郑州450015．E—mail：1ishmeng01@163．com0重庆文理学院数学与统计学院，重庆402160．E—mail：wujieshi43@yahoo．com．an本文受到国家自然科学基金(No．11171364)的资助．286数学年刊34卷A辑定义2．2【3】172页圈积：对于群，把由所有函数∑—∑={1，⋯，n)所做成的集合看作一个群，其乘法按照点来定义为：对所有的i∈E及a1，a2∈L“，有i。。。：iali．其中t。表示ak的第i个位置上的

4、元素，k=1，2．圈积2表示关于的半直积：如果sESn，口EL，那么对所有的iEE有i。。=(is-1)。．此外，对U≤L记的子群为={0∈U”lJ。=1，当J≠特别地，L=L1X⋯XL．令W=L2，记为Nw(Li)=Li×(L1X⋯×Li一1×Li+lx⋯×L)一1到Li上的投射．对于W的子群G，我们记G()为i在所有这些函数(Nc(Li))作用下的像的集合，即G(t)=i(Nc(Li))={WE厶I存在g∈Ⅳ((t)，使得ig=)．因此，G(t)是的一个子群．称S为圈积W=L2S的顶群．3引理引理3．1设G=W=2，L是几乎单群．设是的自正规化子群，且L=KT，这里T=soc(L)．设

5、M=NG(K)=K2．如果M在G中有素数幂指数，那么在中也有素数幂指数．证若在G中有素数幂指数，设为P，则G有一个Sylow子群P，使得MP=G．由lal=得(1a：MljIV：P1)=1．又是G的次正规子群，所以L=(LNM)(LMP)=K(LnP)．因此l：Kl为素数幂．引理3．2[。]引理。·设G是圈积W=L2的传递的作用在{1，⋯，)上的子群．那么存在g∈L2×⋯×，使得G≤V=G(1)2Sn，其中V是W的子群且具有和相同的顶群．引理3．3【】定理设G为非交换有限单群，H≤G且IG：何f=Pa，其中P为素数，那么下列断言之一成立：(1)G=A，ⅣA一1，其中佗=P。；(2)G=L(

6、q)，H是直线或超平面的稳定化子，于是JG：日l==Pa，这里n是素数；(3)G=2(11)，HA5；(4)G=M：3且HM：2或G=M11且HM10；(5)G=(2)(3)，H是指数为27的抛物子群．3期李士恒施武杰非2一闭极大子群指数为素数幂的有限群2874定理1．3的证明用反证法证明．设G为极小阶反例．(1)s(c)=1．若s(c)≠1，则商群c／s(c)满足定理条件．于是由G为极小阶反例，有(G／s(G))／(G／s(G))PSL2(7)或1．又s(c／s(c))=1，所以c／s(c)PSL2(7)或1．因此可假定s(c)=1，G非可解．(2)G有唯一的极小正规子群N=N1XN2×

7、⋯X，Cc(N)=1，其中N1N2⋯为非交换单群．设和y是G的两个不相等的极小正规子群，则X和y均非可解且由归纳法得到(C／X)／S(G／X)和(G／Y)／S(G／Y)同构于PSL2(7)或1．令s(c／x)=&／x和S(G／Y)=／v，则g／&(c／x)／s(c／x)和G／S2(G／Y)／S(G／Y)同构于PSL2(7)或可解．显然1不包含y，不包含．因此，ny可解，从而由(2)得nY=1．于是G同构C／XXc／Y的一