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《2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离（选学）学案新人教b版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.5 距离(选学)学习目标 掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距离、点到平面的距离、线面距和面面距．知识点一 点到平面的距离1．图形与图形的距离一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．知识点二 直线到平面的距离1．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．2．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线夹在平行平面间的部分
2、，叫做两个平面的公垂线段．(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．知识点三 四种距离的关系题型一 点线距离例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)．∴
3、
4、＝＝，·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，∴在上的投影为＝.∴点A到直线EF的距离d＝＝＝.反思感悟 用
5、向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)求直线的方向向量．(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影．(4)利用勾股定理求点到直线的距离．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．跟踪训练1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．解 ∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，∴A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1，0,0)，∴＝(1,2，－3)．又∵＝(0,2,0)，∴在上的投影为＝.∴点B到直线A′C的距离d＝
6、＝＝.题型二 点面距离例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2,0)．设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)．由得∴x＝－y，z＝－3y.取y＝1，则n＝(－1,1，－3)．∴点B到平面EFG的距离d＝＝＝.反思感悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤(1)建立空间
7、直角坐标系．(2)求出该平面的一个法向量．(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量．(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离．跟踪训练2 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)求点C1到平面AB1D的距离．(1)证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0,0)，C(1,0,0)，B1(－1，0,2)，A1(0，，2)，A(0，，0)，C1
8、(1,0,2)，＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)，＝(0，－，0)．设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2,0,1)．∵·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0，∴⊥n.∵A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)解 由(1)知平面AB1D的法向量n＝(2,0,1)，且＝(－1，，－2)，∴点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝.题型三 线面距离与面面距离例3 在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC
9、1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离．解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，∴B(1,2，0)，∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1)．设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则即∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．∵＝(0,0,2)，∴直线A1B1与平面ABE的距离d＝＝＝.反思感悟 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的
10、距离的方法求解即可．(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距
