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《两点间曲面距离计算模型及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、安徽农业大学学报,2003,30(3):345～348JournalofAnhuiAgriculturalUniversity①两点间曲面距离计算模型及应用王凯,张志祥,叶勇,潘善德(安徽农业大学基础科学学院,合肥230036)摘要:针对北京——底特律飞越北极新航线的开通而提出的实际问题,分别对球体和旋转椭球体情况进行讨论,根据数学上的可近似原理,建立了两点间曲面距离计算模型,并将此算法推广到最短航线的找出,从而解释了新航线节约4h左右的原因。关键词:球面距离;余弦定理;旋转椭球体中图分类号:O14114文献标识码:A文章编号:10002219
2、7(2003)03203452041问题的提出随着各国间的进一步交流与合作,加拿大和俄罗斯将允许民航班机越过北极,此改变可大大缩短北美和亚洲间的飞行时间。比如北京——底特律航班,原航线需途经:A1(北纬31°,东经122°),A2(北纬36°,东经140°),A3(北纬53°,西经165°),A4(北纬62°,西经150°),A5(北纬59°,西经140°),A6(北纬55°,西经135°),A7(北纬50°,西经130°),A8(北纬47°,西经125°),A9(北纬47°,西经122°),A10(北纬42°,西经87°)。而在新航线上,根据
3、加拿大空中交通管制局估计,飞行时间比原航线可节约4h左右。对此作者将在数学上给出合理的解释。2模型假设(1)地球表面的凹凸不会引起飞行航线的改变;(2)飞机的飞行速度一定,高度一定;(3)飞机每次起飞与降落的时间相对飞行时间很小,忽略不计;(4)飞机的飞行航线为两地间最短曲面距离;(5)飞机油量储备充足,中途降落加油情况可不予考虑。3问题分析显然,飞机飞行时间的节约来源于航程的缩短。可以首先假设把地球看作一个球体,根据北京及底特律的经纬度计算出飞机沿着最短路径,即穿越俄罗斯和加拿大所需时间,然后与途经A1,A2,⋯⋯,A10花费的时间作比较。当
4、然,在实际情况中,地球并非一个球体,而是近似于一个旋转椭球体,这时,通过插点求和的方法,即在通过的轨迹上插入若干个点,然后对每一段作类似于球面距离的估计,从而求出总路程。4模型的建立与计算411把地球看作球体如图1建立空间直角坐标系,其中XOY平面过赤道平面,Z轴过球心。在北半球面上任取两点A(A1,B1),B(A2,B2),其中A1,A2为A、B两地的纬度,过A、B两点分别向XOY①收稿日期:2003203214作者简介:王凯(1978-),男,助教。346安徽农业大学学报2003年平面引垂线,交于A′、B′两点,再过A点作直线垂直于BB′,
5、垂足为A″点。显然AA″=A′B′。设地球半径为R,则:在Rt$AOA′中,AA′=RsinA1,A′O=RcosA1在Rt$BOB′中,BB′=RsinA2,B′O=RcosA2记∠A′OB′=B为A、B两地的经度差,则在$A′OB′中222(A′B′)=(A′O)+(B′O)-2A′OõB′OõcosB2222即(A′B′)=(cosA1+cosA2-2cosA1cosA2cosB)R又A″B=B′B-B′A″=B′B-A′A=R(sinA2-sinA1)22222222从而(AB)=(AA″)+(A″B)=(A′B′)+(A″B)=(co
6、sA1+cosA2-2cosA1cosA2cosB)R+22R(sinA2-sinA1)222设∠AOB=H,则在$AOB中,由余弦定理得:cosH=(AO+BO-AB)ö(2AOõBO)从而H=arccos(cosA1cosA2cosB+sinA1sinA2)HõPõR则AB两点间球面距离SAB=180HõPõ(R+d)设飞机飞行高度为d,飞行速度为v,则飞机在AB两地间最短航程为S′AB=,飞机航180HõPõ(R+d)行时间为TAB=180v根据实际资料及交通管制局提供数据可知,北京(北纬40°,东经115°),底特律(北纬43°,西径8
7、3°),飞机飞行高度一般为10km,飞行平均速度约为980kmöh,代入可得:SA(0,1)=1185141km,TA(0,1)=112096h;SA(1,2)=1758179km,TA(1,2)=117947h;SA(2,3)=4624141km,TA(2,3)=417188h;SA(3,4)=1339108km,TA(3,4)=113664h;SA(4,5)=641116km,TA(4,5)=016542h;SA(5,6)=53816km,TA(5,6)=015496h;SA(6,7)=651134km,TA(6,7)=016648h;SA
8、(7,8)=497157km,TA(7,8)=015077h;SA(8,9)=227185km,TA(8,9)=012325h;SA(9,10)=28
