多元时间序列模型协方差矩阵的递归算法

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1、第13卷第2期工　科　数　学Vol.13,No.21997年4月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYApr.1997多元时间序列模型协方差矩阵的递归算法孟昭为　董凡平(山东工程学院,淄博255012)摘要　本文推导了多元时序模型的协方差矩阵与模型参数的关系式,并给出了计算多维时序过程自协方差矩阵的递归算法.关键词　多元时间序列　自协方差矩阵一、引　　言在时间序列分析研究中,自协方差矩阵是一个重要的工具.对于多元ARMA(p,q)模型,自协方差矩阵的估计与计算是很重要的,一般的极大似然估计运算过程复杂,计算量大.而建立在卡尔曼滤波基础上的极大似然估计则

2、需要决定状态向量的无条件方差矩阵.利用模型自协方差矩阵与模型参数的联系,我们可以设计计算自协方差矩阵的一种方法.该方法将会减少多维ARMA过程相关系数、偏相关系数及极大似然估计的计算量.同时计算公式的递推性还为我们提供了利用计算机设计程序的可能.二、自协方差与模型参数的矩阵表示设{xt}(t=0,±1,±2,⋯)为m维零均值平稳过程,满足A(U)xt=B(U)Et(1)2p其中　　　　　　　　　　A(U)=I-A1U-A2U-⋯-ApU,2qB(U)=B0+B1U+B2U+⋯+BqU.T{Et}为i.i.d随机向量过程,且有E(Et)=0,E(EtEs)=Dst2,2为m阶正定方

3、阵,通常取2=I.矩阵多项式A(z),B(z)无左公因子,即若A(z)=C(z)A1(z),B(z)=C(z)B2(z),则必有det[C(z)]=C(非零常数).且有,当ûzû≤1时,det[A(z)]≠0,det[B(z)]≠0.TT记RS=E(xtxt-S)(S=0,1,⋯,p-1),将(1)式两端右乘xt-S后取数学期望得:qTRS=A1RS-1+A2RS-2+⋯+ApRS-p+E∑BjEt-jxt-S(S=0,1,2,⋯)(2)j=0qT在E∑BjEt-jxt-S中,注意到j=0∞-1xt-S=A(U)B(U)Et-S=C(U)Et-S=∑CsEt-S-s,s=0其中C

4、s(s=0,1,2,⋯)为xt的Wold系数,于是q∞g∞TTTE∑BjEt-j∑CsEt-S-s=E∑BjEt-j∑Et-S-sCsj=0s=0j=0s=0q∞q∞qTTTT=∑Bj∑E(Et-jEt-S-s)Cs=∑Bj∑Dt-j,t-S-sICs=∑BjCj-S.j=0s=0j=0s=0j=S©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.62　　　　　　　　　　　　　　工科数学　　　　　　　　　　　　　　第13卷1,j-S=s,最后等号成立是由于Dt-j,t-S-s=故(2)式可表示为0,其它p

5、qTRS=∑AiRS-i+∑BjCj-S(S=0,1,⋯).(3)i=1j=STTT3TTTTT3如果记R=(R0R1⋯Rp),R=(R0R1⋯Rp),C=(C0C1⋯Cq),C=(C0C1⋯TTCq),并注意到RS-i=Ri-S,且令A1A2⋯Ap-1ApA10⋯0A2A3⋯Ap0A2A1⋯0J=,K=Ap0⋯00ApAp-1⋯A1为mp阶方阵.记0J00MJ=,MK=00K0为m(p+1)阶方阵.并取N为如下m(p+1)×m(q+1)阶矩阵B0B1⋯Bq-1BqB0B1⋯Bq-1BqB1B2⋯Bq0B1B2⋯Bq0N=(当p

6、00Bp0⋯000则方程(2)可以用下面矩阵形式表示.33R=MKR+MJR+NC(4)33或(I-MK)R=MJR+NC(4′)33当Ai(i=1,2,⋯p)、Bj(j=0,1,2,⋯q)为已知时,(4′)是关于R与R的矩阵方程,当NC3可逆时,文献[4]给出了解的存在条件及通解表达式.注意到R与R的特殊关系,我们可以利用矩阵Kronecker积与拉直运算将(4)式化简.三、自协方差函数的计算[3]由多维ARMA(p,q)模型的Wold系数递推公式:C0=B0s•Bi+∑AjCi-j,i≤q,j=1Ci=(5)s•∑AjCi-j,i>q,j=1其中s=min(i,q),利用矩阵

7、形式,(5)式可以表示为:I0⋯00C0B0•-A1I⋯00C1B1=.(6)•••••-Aq-Aq-1⋯-A1ICqBq©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第2期　　　　　　　孟昭为等:多元时间序列模型协方差矩阵的递归算法63•(5)、(6)两式中的Ai满足•Ai,0≤i≤p,Ai=0i>p.若记•A10⋯0••A2A1⋯000•=,B=(BTTTT,M•K0B1⋯Bq)K=K0•••Aq