带幂权的均值不等式

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1、44数学通报2010年第49卷第5期带幂权的均值不等式张广祥(西南大学数学与统计学院400715)1把演算技巧上升为数学法则求平均值的变元其幂指数还可以按照一定的权重首先观察下面一些代数不等式：Z1，aq-bq-c<．．-F-cZ求平均值．我们用(口，q)一(筹)7／aZ-~-b_3_．3，、／表示／-／个变元带幂权r的广义平均值．特别地，记2)口。+b。+C。≥3abcM．r一(，1)一f3)~／n6+~／6f+~／Ⅱf≤n+b+c4≤告(++÷)当r一1时，一二就是口，口。，n。，我们还有一个经典的均值不等式：⋯，a的

2、算术平均值．n02⋯n_<—土—，'其只含笛义是足个／r正止实头1当r一一时，Mj一()称数的几何平均值不大于它们的算术平均值．根据为调和平均值．解不等式或证明不等式的经验，上面一系列不等式与经典的均值不等式具有相当密切的关联性，当r—o时，一liraexp—。E~xo,(耋n)]但是如何利用经典均值不等式来证明它们还需要一exp求助复杂的代数演算技巧．怎样把灵活多变的演_}l。g1+7li∑=l1。鼢+o(]算技巧上升为一般的数学法则或定理，这是我们一eE~2呼]一c数学研究或数学教学所追求的．因此我们教学中的一个直接的

3、问题是：怎样用统一的观点解释和因此实际上是几何平均值．证明上面一系列不等式?我们将在下节证明这个广义均值不等式定2“加权平均”与“幂权平均”理：若r>s，则≥M：．我们观察通常所使用的“加权平均”的概念．现在我们首先利用这个广义均值不等式定理假定存在一组和不为0的系数口，qz，⋯，，把证明匕面的不等式1)一4)．M(口，q)===丰称为正实数口，nz，1)由≤，立即得a丁+b+c≤口。，⋯，n”的加权平均值，系数q，qz，⋯，qn称为盯“权”．^、／——i一‘算术平均值实际上是“权”都是1的平均值2)由≥，得()}≥㈨，M

4、一±堕±，这是一种“绝对平均值”，参与，f于是a。+b。+C。~3abc．求平均值的所有变元处于同等地位．“加权平均”是一种“股份制平均”，各成员的权益按照“股份系3)由晦≤，得()。≤数”分摊．ab+bc+ac——一，因此(~／+~／+~／)≤3(n6+数学上还存在更加复杂的平均值概念，参与2010年第49卷第5期数学通报45bc+ac)≤(口+b+f)，~／nb+Jbc+~／口c≤口+b(5)下面取消0

5、r，于是(口，q)4．由晦≤，有()～≤一[(＆一，q)]≤EM：(a～，q)]一(n，a+b+cq)．—，即≤吾(丢+丢+÷)．最后只要讨论0一r

6、的情形，定理证完．+(1一口)]，假定0<≤1，0<口<1，则(“)一4广义均值不等式定理的进一步应用a-G一口(～一1)≤0，故厂()是单减函数，很多代数不等式都可以统一在广义均值不等且仅当一1时，()一0．因此o<≤1时，，()式定理的观点之下，这样它们的发现与证明不必≤O且厂()一0当且仅当一1．这样我们证明了：求助过于复杂的代数演算技巧．为了说明这一现如果O

7、2)用一三代人上面不等式得0<≤，2000年出版)一书中选取两例．我们首先摘录原y书的证法，然后再给出利用广义均值不等式定理0

8、c+)．由于两点间折线全长不短于直线长，故OA∑[+证法2(代数证法)由广义均值不等式≥，得()专≥Ta~b．故≥。．贝u。