变系数线性齐次常微分方程组的λ-矩阵求解法

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1、第32卷第3期数学的实践与认识Vol.32No.32002年5月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYMay,2002========================================================变系数线性齐次常微分方程组的λ-矩阵求解法李建湘(湘潭工学院数理系,湖南湘潭411201)摘要:进一步讨论了微分变换矩阵的性质,指出了变系数线性齐次微分方程组,通过因变量变换化为常系数线性齐次方程组的充要条件.关键词:微分变换矩阵;微分算子矩阵1微分变换矩阵的性质记A=(a为常数,F=(f为函数,i=0,1,2,…,n;D(n)0,a1,…,an

2、),ai0,f1,…,fn),fi=(Dn,Dn-1,…,D,1)T,D=d为微分算子,则D(n)y=(y(n),y(n-1),…,y)T.于是由表达式dx(n)(n-1)(n)Tf0y+f1y+…+fny=(f0,…,fn)(y,…,y)=FD(n)y(1.1)称FD(n)为变系数多项式微分算子,而由表达式(n)(n-1)(n)Ta0v+a1v+…+anv=(a0,…,an)(v,…,v)=AD(n)v(1.2)称AD(n)为常系数多项式微分算子.FD(n)和AD(n)均称为多项式微分算子.以微分算子为元素的矩阵称为微分算子矩阵.用文[1]中的微分变换矩阵Φ(n,φ),即1'2n-1(n-1

3、)(n)=φCnφCnφ"…Cnφφ)1'n-2(n-2)(n-1)φCn-1φ…Cn-1φφφ⋮⋮Φ(n,φ)=='0φφ=φ)可有下式:v=φyD(n)v=====Φ(n,φ)D(n)y.(1.3)微分变换矩阵在函数φ,f具有足够阶导数时,有如下性质:性质1Φ(n,0)=O其中O和I分别为n阶为零矩阵和单位矩阵.n;Φ(n,1)=In,nn性质2Φ(n,φ)+Φ(n,f)=Φ(n,φ+f).性质3Φ(n,φ)Φ(n,f)=Φ(n,φf).证略.推论1若φ≠0,则Φ(n,φ)可逆,且有Φ-1(n,φ)=Φn,1.(φ)收稿日期:1999-04-203期李建湘:变系数线性齐次常微分方程组的λ-

4、矩阵求解法471推论2(1.1)式能通过变换v=φy变为(1.2)式的充要条件是(1.1)中的F=AΦ(n,φ).性质4设有函数矩阵U有逆U-1-1,其中U=(uij)k×k,U(vij)k×k,则有k=Oni≠jΣΦ(n,uil)Φ(n,vlj)=<,i,j=1,2,…,k.l=1=Ini=j证由性质2和3可得kkΣΦ(n,uil)Φ(n,vlj)=Φ(n,Σuilvlj)(1.4)l=1l=1因u和v分别是U和U-1的元素,故illjk0i≠jΣuilvlj=.l=1{1i=j从而由性质1,(1.4)式可写成kk=Φ(n,0)=Oni≠jΣΦ(n,uil)Φ(n,vlj)=Φ(n,Σuil

5、vlj)=

6、1对于给定的函数矩阵U=(u若有逆矩阵U-1ij)k×k,=(vij)k×k,那么通过变换:T-1T-1Y=(y1,…,yk)=U(x1,…,xk)=UX将方程组(2.1)化为(2.2)的充要条件是(2.1)中诸算子kFijD(nij)=ΣAilΦ(nil,ulj)D(nil)i=1,2,…,m;j=1,2,…,k.(2.3)l=1证充分性.方程组(2.1)可写成kk└┐ΣA1lΦ(n1l,ul1)D(n1l)…ΣA1lΦ(n1l,ulk)D(n1l)l=1l=1└y1┐⋮⋮⋮=0(2.4)kkL┘ykΣAmlΦ(nml,ul1)D(nml)…ΣAmlΦ(nml,ulk)D(nml)Ll=1l

7、=1┘472数学的实践与认识32卷现将变换Y=U-1X代入方程组(2.4)得kk└┐ΣA1lΦ(n1l,ul1)D(n1l)…ΣA1lΦ(n1l,ulk)D(n1l)l=1l=1=└v11┐└v1k┐)⋮⋮⋮x1+…+⋮xk=0kkL┘L┘=vk1vkk)ΣAmlΦ(nml,ul1)D(nml)…ΣAmlΦ(nml,ulk)D(nml)Ll=1l=1┘从而由(1.3)式有kk└┐Σ(ΣA1lΦ(n