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1、一九八三年广西大学学报自然科学版第二期有限交换群的自同构群俞曙霞,。本文给出有限交换群的自同构群的矩阵形式并由此讨论该自同构群的一些性质,,,·,,如果是齐次循环群“的阶为映射将的元素、映为“、,其中“满足、!!!!火一,。,阶矩阵的元素属于则任的充要条件是可逆我们知道含单位元,,的交换环上的阶矩阵可逆当且仅当是的可逆元故等令,,,。,、,,〔等
2、设日日〔,。,。若云衬日幻二袱《则规定与的积为容易,。。证明!丝下面将这一结果推广到一般的有限交换群设有限交换群的型为」一’,,七二…、,甲声,‘,,。其中…》又设矩阵,川,一义…,一“,‘一‘一、‘“‘一…士一,、,月尹、,‘、矛产、写、孟入,
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4、、公产《鑫则规定,二、,,一‘’、,完全确定一其中显然由‘丫黔,pk芳校,顺便指出这里分块矩阵A的第k列各子矩阵的元素均以或称A是以J‘Lrse护矛、‘,.L.、/、尸、‘、.m占JmO:p:pM一:::、犷、,,口二3。为模的矩阵一般来说模M的矩阵不一定能按上述方式规定乘法例,取模MPP少(二阶矩阵卜P3A一a11a12注Al=a11o(mdM)(a21a22己么iJ工J.J.、产龟夕.一I0“J日及“川八,(Ia11+ai:+3+PAB一Pa11+ai:aii=oAB(mdM
5、)a21+a22a21+a22aZi(,现在证明有限交换p群G有A,,‘“‘G)二GL了mm51,…st·a=i,,“5,Jri,门(i亡;1G的一个基设…)作成ai的阶是pG的映射a为,,乙JaiJ1ja:日EVEai〔G~门日1一Ji,Ja..·“””而{由(2)91,a;:,’.’at.‘.a、T‘,,a:s,,,a,:,a0st…二,“‘=八La………)T丁)(Ak)。x,,:’…“‘是;孟二之。、=一o(a‘’pm“确定其中A:)鑫}6、从而A;,o,“isE是可逆阵!A!等。(md)同时的阶是乙且故;户EtS贬‘,o“pm‘a,-ma’ak‘=p勺‘a(丈尸’akP乙鑫i;k二11二1k=11=1气k一毛‘a(,,,‘一。爪i。’““omk,即p’k=p爪,m‘Aik(i>k)于是p(mdp)l孟所以A{{。,t,k=Aik(i《k),故A〔反之若A‘:箕则“是令A:GL(第聋)GL(竿)‘,。T由(2)确定的映射a是G的自同构a,由GL:戮的乘法与可逆的令~A(华),可以,‘。、通矩阵的乘法的一致性得到这是同构映射故A(G)二GL:翼(军),二s;二1,下,m;=m:二1显然当t时G是p阶循环
7、群则A(G)全模p既约剩余类当t,‘1,一5!,,时G是p阶初等交换群则A‘G)二GLGL‘一)即有限素城上的一般(sl),。s,z;。线比群这些都是熟知的由(1)也可以得到齐次循环群G的A(G)皇GL(m)。下面讨论GL的若干性质净)(竿令__。个、(/)’‘51,“s‘,zp““一51,zP‘七(’A!A:、〔GL(’ri}’〔,。尸/(,。山‘,,,zp设A‘G“、/日火“J日ss,z。刃51匀m则GL(…)《GL():(半几厂去,‘,,,:‘,卜.二a1产,1飞了、AAa孟聋几Z::A一pm卜mAA比交:,A。‘S‘p,二’一“2一“t/益mAtlpA
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