双三次B 样条插值曲面Ξ

《双三次B 样条插值曲面Ξ》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第21卷第3期数学理论与应用Vol.21No.32001年9月Sept.2001MATHEMATICALTHEORYANDAPPLICATIONSX双三次B样条插值曲面方　逵(长沙大学教学与计算机系,长沙,410003)摘要　本文研究三次B样条插值曲面。对于给定的拓扑网格点阵Pi,j,导出了其插值三次B样条曲面的控2制顶点,每四个顶点Pi,j,Pi+1,j,Pi,j+1,Pi+1,j+1由九个三次B样条曲面片构成,整个曲面是C连续的,最后,给出了一个数值实例。关键词CAGO　三次B样条曲面　插值11引　言曲面插值在计算机辅助几何设计中有着广泛的应用,它是曲面造型的一种重要方法。目[1][2-3

2、]前曲面插值有多种方法,比较典型的有分块Bēzier插值曲面,三角曲面片拼接,三次B[4]样条插值曲面等。三次B样条插值曲面一般必须通过反算控制顶点来实现,且曲面的局部形状控制很困难。本文利用均匀三次B样条曲线的端点性质,直接计算三次B样条曲面的控制顶点使曲面插值型值点,该方法可局部修改,且曲面无需求解大型的矢量方程,从而计算费用小,曲面实现方便,数值实例表明本文的方法是有效的。21双三次B样条曲面插值_(i=0,1,⋯,n给定(n+1)×(m+1)个空间点阵rijj;j=0,1,⋯,m),双三次B样条曲面可分块表示为33_(u,v)=∑rl,k∑Ei,3(u)Ej,3(v)r(i+l)(j+

3、k),i=0j=00≤u,v≤1,l=0,1,⋯,n-3,k=0,1,⋯,m-3(211)其中　基函数为32E0,3(t)=(-t+3t-2t+1)/3!,32E1,3(t)=(3t-6t+4)/3!,32E2,3(t)=(-3t+2t+3t+1)/3!,3E3,3(t)=t/3!_变量t可用u或v代替,这里rij称为deBoor点。X湖南省教育厅科研课题资助项目(00C022)　　　蔡海涛教授推荐　　　收稿日期:2001年2月5日©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.　第3期方　逵:双三次B样条插值曲面6

4、7由方程(211)式易知,三次B样条曲面块的四条边界曲线为3_1___rl,k(0,v)=∑Ej,3(v)re(j+k)+4r(l+1)(j+k)+r(l+2)(j+k)6j=03_1___rl,k(1,v)=∑Ej,3(v)r(l+1)(j+k)+4r(l+2)(j+k)+r(l+3)(j+k)6j=0(212)3_1___rl,k(u,0)=∑Ei,j(u)ri+e)k+4r(i+e)(k+1)+ri+l)(K+2)6j=03_1___rl,k(u,1)=∑Ei,j(u)r(i+l)(k+1)+4r(i+l)(k+2)+r(i+e)(k+3)6j=0_若给定空间型值点阵VPq(P=0,l,

5、⋯,n;q=0,1,⋯,m)直接代入方程(211)式,因B样_条曲面无插值性,所以三次B样条曲面无法插值Vij。为了构造三次B样条插值曲面,本文采用扩充DeBoor点的方法来实现,首先扩充端点,定义:V(-1)j=V0j+(V0j-2V1j+V2j)/4,V(n+1)j=Vnj+(V(n-2)j-2Vn-1)j+Vnj)/4,j=0,1,⋯,m,(213)Vi(-1)=Vio+(Vio-2Vi1+Vi2)/4,Vi(n+1)=Vin+(Vi(n-2)-2Vi(n-1)+Vin)/4,i=0,1,⋯,n,(214)接着沿u方向定义deBoor点(P=0,1,⋯,n)r(3P)(3q)=VPq,u

6、r(3P)(3q-1)=VPq-λPqTPq,q=0,1,⋯,m(215)ur(3P)(3q+1)=VPq+λPqTPq,u其中TPq=(VP(q+1)-VP(q-1))/

7、VP(q+1)-VP(q-1)

8、,λPq是大于零的调节参数。沿V方向定义deBoor点(q=0,1,⋯,m):r(3P)q=Vpq,vr(3P-1)q=VPq-UPqTPq,P=0,1,⋯,n(216)vr(3P+1)q=VPq+UPqTPq,v其中TPq=(V(P+1)q-V(P-1)q/

9、V(P+1)q-V(P-1)q

10、,UPq是大于零的调节参数。由此可知:以rij(i=-1,0,1,⋯,3n,3n+1;j=-1,0,

11、1,⋯,3m,3m+1)为deBoor点的三次B样条曲面为:33_(U,V)=∑(u)E(u)rrl,k∑Ei,3j,3(i+l-1)(j+k-1),i=0j=00≤u,V≤1,l=0,1,⋯,3n-1,k=0,1,⋯,3m-1,(217)下面证明三次B样条曲面插值Vij1对P=0,1,⋯,n,由方程(212)以及(215)易知:3rl,3q(u,1)=∑Ei,3(u)r(i+l-1)3q,q=1