单摆的混沌运动

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1、广西民族学院学报（自然科学版）第!卷第"期!"#$%&’"()#&%)*+#%+,-$.+/0("$%&/+"%&’+/+-.,123!%13""##$年%月（%456742.89:;8:-<9591;）=4>3"##$!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!文章编号：&##’(#$&（&"##$）#"(##"&(#%单摆的混沌运动"杨青勇（南宁地区教育学院物理系，广西南宁%$###&）摘要：采用相图方法和庞加莱截面法描述单摆

2、的复杂运动，研究单摆运动中的分岔、混沌等非线性特征)关键词：单摆；相图；庞加莱映射；混沌中图分类号：*$&$文献标识码：+单摆是物理学中最简单的模型之一，传统的力学""令##)%-"，$)##(，%)#’-##，&)"##，.)教材一般只讨论单摆在摆幅很小的条件下作简谐振#动、阻尼振动和受迫振动的特征!事实上，如果不限制&&)，则（&）式变为：##""#%其摆幅，单摆在周期性策动力的作用下，其运动将有#"意想不到的复杂性!本文将从单摆的动力学方程出2!2!")$"&$,-.!,./0,%$（"）发，采用相图、庞加莱

3、截面等描述方法研究单摆的复2$2$杂运动!引入新变量#，’将（"）式化成自治方程形式：·!)#·&单摆模型的动力学方程!)$"&#$,-.!,./0,’}（$）我们把传统的单摆模型一般化：单摆的摆线换成’/)%质量可忽略不计的刚性杆，摆角!的取值范围不受限这是一个反映单摆运动所遵循的动力学规律的·不显含时间的微分方程组!（$）式中有$个可调参制，设摆长为"，摆球质量为#，沿切向受阻力$"!"（量：，%和.，每个参量的改变都会引起解的变化!"为阻尼系数）、重力的分力$#%,-.!以及周期策&动力&/0,#’(作用，由

4、牛顿第二定律#&)#*得可以通过控制&，%，.参量的变化去考察其解的类型$$此单摆所满足的动力学方程为和结构的变化，从而得出反映系统运动特征的信息!1··#!")$+!"$#%,-.!,&/0,#’(（&）"单摆运动的相图及庞加莱截面为使（&）式各物理量无量纲化，作如下标度变［&］［"］换：描述方法由于（$）式含有非线性项，一般而言，不能用解"收稿日期："##$(#$(&34万方数据作者简介：杨青勇（&!3"(），男，广西马山人，南宁地区教育学院物理系讲师4广西民族学院学报（自然科学版）!##$年*月第/卷####

5、#############################################################析法求解!对于这类微分方程，法国数学家庞加莱在十九世纪末创建了一种微分方程的定性理论，发明了相图和拓扑学方法，在不求出解的情况下，通过直接考察微分方程的系数及其本身的结构去研究它的解的性质!相图方法是非线性动力学最基本的研究方法!描写动力学系统状态的空间称为相空间，相空间的每一点都代表系统的一个状态，反映系统状态演化过程的图像就是相图!下面我们用相图方法以及与之相联系的庞加莱截面法描述单摆的运动

6、!图!无阻尼无策动力的单摆相图!!"无阻尼无策动力的单摆的相图无阻尼、无策动力相当于，#"#的情况，图!即为反映了单摆在不同初始值下对应运动!"#·此时单摆是一保守系统，由（$）式得状态变化情况的相图!当("#，#"#时，#"#，对·应于相图中的不动点#，为单摆的稳定平衡点；当($#"""%&’(#（)）%$较小时，轨线为圆形闭合回线，表明单摆作简谐振动；···%#%#%#·%#当(增大时，轨线将偏离圆形，系统运动表现出非线把""#代入（)）式，整理得%$%#%$%#性特征，能量越高，回线越扁；当(""时单摆实际振

7、··#%#"%&’(#%#（*）幅已达到)&，这相当于单摆的竖直倒立位置，是一（"）若#很小，&’(#!#，在此情况下我们容易得个不稳定的平衡点；(*"，轨线不再闭合，表明单摆到（)）、（*）的解，它归结为简谐振动情形!为便于从在竖直面上顺时针或逆时针旋转!相图的角度来分析其运动特征，对（*）式积分，整理!!!有阻尼无策动力的单摆的相图得由（$）式得到有阻尼无策动力时单摆的运动方·!&#!"’!（+）程为#!.·其中，积分常数’"!(，(由初始条件决定，对应#&!!#&&’(#"#（+）于系统的总能量（无量纲）!由

8、于（+）式比（)）式多出!·这一耗散项，单摆无论!#·由（+）式可作出单摆的角速度#与角位移#关系从什么状态出发，都要经阻尼振荡，最后静止下来，反·图像，如图"!即为单摆作简谐振动的相图!#%#平面映在相图$上，可以看出，小振幅下的阻尼振荡轨线就是单摆的状态空间或相空间，图中的圆称为相轨道将不再是闭合回线，而是对数螺线，终结于不动点#!（轨线），圆上一点确定