孙会元固体物理基础第一章1.4电场中的自由电子

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1、第四节金属的电导率和热导率本节主要内容：三、金属的热导率一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率二、索末菲近似下金属的电导率一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率1.电场下经典的动力学方程按照特鲁德-洛仑兹模型，电子遵循碰撞近似和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向,所以电子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分电子。无论是经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论，还是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的电导和热导问题上都取得了成功,并成功解释了维德曼—夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德-洛仑兹自由电子论的结果。定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子的碰撞特征.驰豫时间,相当于相继两次散

2、射间的平均时间由弛豫时间τ的定义，dt时间内，电子受到碰撞的几率为dt/τ，从而电子没有受到碰撞的几率为(1-dt/τ)。假定t时刻电子的平均动量为P(t)，经过dt时间没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为P(t+dt)。所以有:则没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应为t时刻电子的平均动量和dt时间后动量的变化之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。是对于所有电子而言的，电场力对所有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰撞的电子.整理得取一级近似从而有所以，自由电子在外场下的动力学方程为：设外场作用下电子的漂移速度(driftvelocity)为vd(t),则动量从而,自由

3、电子在外场下的动力学方程变为阻尼力该方程又称为漂移速度理论对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度所以：把它们代入自由电子在外场下的动力学方程得到：整理后得到电子的漂移速度为相应的电流密度又所以,电导率为2.稳恒电场情形下金属的电导率电阻率ρ定义为电导率的倒数，所以电阻率为：由此可得弛豫时间：材料的电阻率或电导率可实验测出，然后，代入上式可计算弛豫时间.对于普通的金属,的量级约为10-14秒.由经典的玻耳兹曼统计可得电子的平均速率。由此可得到电子的平均自由程：室温下电子的平均速率大约为107cm/s。对于普通的金属,的量级约10-14s,所以l约1nm所以电子的平均

4、速率：经典统计下电子的动能：由电子的密度我们容易得出电子的半径rs的大小约为0.1nm左右，差不多和经典下电子的平均自由程在一个量级，显示了经典模型的局限性。3.交变电场情形金属的电导率假设此时代入电子的动力学方程得整理得由得到为直流电导率索末菲近似下，基态时金属中的自由电子费米气体全部分布在费米球内。此时金属自由电子具有确定的动量电子速度二、索末菲近似下金属的电导率不加外场时，费米球的中心和k空间的原点重合，整个费米球对原点对称。如果有一个电子有速度v，就有另一个电子有速度-v，因此金属内净电流为零。在恒定的外场作用下，电子受力为-eE由牛顿第二定律此式说明在外电场

5、的作用下，电子动量的改变表现为k空间相应状态点的移动，即产生了费米球的刚性移动。在k空间移动的速度为所以电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得此式表明，在K空间，从0t时刻，费米球中心移动为负号表示费米球沿与外场相反的方向移动那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的位移为:费米球在外场作用下产生刚性移动示意图从0时刻,费米球中心逆电场方向移动为考虑到动量的变化关系：得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量：上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂移速度，对金属内每一个电子来说，都有这样的漂移速度，由此可得电流密度：所以，电导率为可见与经典模型下的结果一致。由上式的推导过

6、程可知，费米球内所有的电子都参与了导电.如图所示，在外场作用下，费米球从红色位置向蓝色位置平移。但是，如果我们具体分析在外电场的作用下费米球的刚性移动过程，不难发现只有费米面附近的很少一部分电子才对金属的电导有贡献.由于费米球的半径为kF,位移为k,电子在球内均匀分布所以，蓝色月牙形部分的电子所占的比例约为：由于I区和II区均位于原来的红色球内,且关于ky–kz面对称。所以它们的传导作用被抵消。只剩下费米面附近未被补偿的蓝色月牙形部分的电子才有传导电流作用。所以参与导电的电子数目约为由于这些电子以费米速度逆电场方向运动，则对电流的贡献为电导率和前面得到的电导率形式上

7、一样，只是用F代替电子所占的比例为：严格的理论计算支持了后一种的说法。这主要是由泡利原理导致的。能量比费米能低得多的电子，其附近的状态已被电子占据，没有空态可接受其它电子。因此，这部分电子无法从电场里获得能量进入较高的能级而对电导做出贡献，能被电场激发的还是费米面附近的电子。两种电导率形式上虽然一样，但是两者导电的物理机理却不同。第一种形式认为费米球内所有电子都参与了导电,电子数目多但速度缓慢；第二种则认为只有费米面附近的电子参与了导电,电子数目少但速度极大，取费米速度；所以,两者效果一样，即电流密度一样。三、金属的热导率金属样品中存在温度梯度