数学概念与数学思维的教学(普通版)

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1、数学概念与数学思维的教学郑毓信（2014）近几年的演讲题目2008：有效的教学，开放的教学；2009：走进数学思维；2010：课改背景下的教师专业成长；2011：数学教学研究：问题与案例；2012：数学教师的三项“基本功”。2013：数学课程标准（2011）的“另类解读”今年的报告关注点的转移：立足日常教学（家常课），努力做好“教学实践的理论性反思”。主要内容：一、概念教学应当注意的几个问题；二、“找规律教学”的若干误区；三、聚焦专业成长。一、概念教学应当注意的几个问题概念对于数学的特殊重要性：1.“数学知识”的具体内涵：（1）事实性结

2、论（公理—定理）；（2）概念（原始概念—派生概念）。2.“数学活动”的基本形式：（1）数学概念的生成、分析与组织；（2）问题的提出与解决。1.应当清楚地指明概念的具体涵义相关现象：教学中人们往往只是注意了如何引导学生通过自主探究去发现相关对象的性质，却忽视了还应帮助学生很好地认识与把握相关概念的准确涵义。[例1]“长方形与正方形特性”的教学[教学实录1]：学生预习：（1）做一个长方形。（2）比一比。发现长方形的特征性质是什么？（3）如何对此进行验证？（4）你还有哪些发现？[教学实录2]：教师在课堂上首先通过全班讨论指明了这样一点：我们主要

3、应从角和边这样两个角度去从事平面图形性质的研究。[教学实录3]然后，在教师的指引下，全班同学又很快将精力集中到了“如何对相关猜想进行验证”之上，学生们表现出了很大的创造力，即是设想出了多种不同的检验方法，如折一折，用直尺和量角器量一量，等等，直至最终建立起了这样的共识：“对边相等”和“四个角都是直角”是长方形的特征性质。[教学实录4]就正方形特征性质的认识而言，教师所采取的也是基本相同的方法，即是集中于相关性质的发现和检验，包括通过实际动手（选4根小棒围成一个长方形或正方形等）帮助学生更好地认识长方形与正方形的特征性质。问题与思考长方形与

4、正方形的特征性质真的是量出来的吗？在学生尚未清楚地知道究竟什么是“长方形”（和“正方形”）的情况下，就要求学生通过实际动手去发现两者的特征性质是否有点“本未倒置”？与三角形的类比在三角形的研究中，我们是如何获得“等腰三角形两腰相等”这一结论的？可能的启示（1）正如三角形的分类，我们在此或许也应更加重视四边形的分类，也即应当通过各种四边形的比较将学生的注意力逐步引向较为特殊的四边形，包括如何对这些特殊四边形（这不仅指长方形与正方形，也包括菱形、平行四边形等）作出明确的定义。可能的启示（2）正如由等腰三角形的定义我们即可直接引出“两腰相等”这

5、样一个结论（与此不同，“等腰三角形两个底角相等”是证明的结果，即有一个发现和检验的过程）；我们也可由长方形和正方形的定义直接引出它们的某些特征性质。总之，在此需要的主要是动脑、而不是外部的操作或动手实践。[例2]正方形的认识教师：“什么是正方形？”学生：“方方正正就是正方形。”教师：“什么是方方正正？”学生：“就是四边相等。”教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？”学生：“不是，因为它不正。”教师又在黑板上画一个矩形，问：“这是否正方形？”学生：“不是！因为这个图形不方。”………教师将学生回答得正确的结论写在黑板上，回答不正确

6、的不写，最后加以补充总结，抽象出正方形的定义。[例3]“圆的认识”的教学先前的评论：“圆的半径和直径的性质事实上也不能被看成‘动手画一画、折一折或量一量’的直接结果，而是主要依赖于‘活动的内化’，也即如何能够‘让学生借助经验展开数学的想象’，从而清楚地认识到‘这一动作可以予以一般化的特征’，如‘圆的半径都相等’等等。”两个相关的事实（1）在现实世界中我们能否找到真正的圆？（2）圆有多少条半径？具体的教学建议我们是否也可通过“什么是圆？”的具体讨论帮助学生很好地掌握“圆的定义”，并由此而引出“圆的半径都相等”这样一个性质？2.正确理解数学概

7、念的作用相关现象：教学中人们往往只是强调了概念在日常生活中的应用，却忽视了数学概念还有这样一个十分重要的作用，即是为我们深入地开展认识活动提供了必要的理论工具。相关的论述（爱因斯坦）“人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像；于是他就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界，并来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的，他们都按照自己的方式去做。……理论物理学家的世界图像在所有这些可能的图像中占有什么地位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有用数学语言才能做到。”两个十分重要的

8、认识（1）概念：“认识之网”上的结点。（2）数学：科学的语言。[例4]“认识比”的教学问题与思考：在事先已经学习了“除法”与“分数”的情况下，我们为什么还要专门引入“比”这样一个概念？相关现象