第六讲微分中值定理及导数的应用

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1、第六讲微分中值定理及导数的应用6.1微分中值定理及导数应用的基本概念一、微分中值定理1．罗尔定理(l）罗尔定理：函数满足：①在上连续；②在上可导；③，则，使得注：①定理的条件是充分而非必要的．②几何意义：在定理的条件下，在曲线上必存在一点，使过该点的切线平行于轴．例6.1设函数具有n阶导数，若有n+1个相异的实根，则方程至少有一个实根．证明：不妨设的n十l个相异的实根为：．在每一个区间上，满足罗尔定理条件，，使得，即至少有n个不同的实根．在每个区间上，满足罗尔定理条件，，使得，即至少有两个不同的实根：．类推下去，至少有两个不同的实根：．在区间上，满足罗尔定理，使得，

2、即方程至少有一个实根．(2）罗尔定理的推广：若在有限开区间内可导，且存在且相等，则，使。证明：记，令，则F在上满足罗尔定理条件，，使得。2．拉格朗日中值定理函数满足：(1）在上连续；(2）在上可导，则，使得注：①定理的条件是充分而非必要的．②几何意义：在定理的条件下，在曲线上必存在一点，使过该点的切线平行于连接,两点的弦．③它是罗尔定理的推广，当时，即为罗尔定理．④其他表达形式：例6.2证明：若，则(1）(2）证明：令，在区间上，由拉格朗日中值定理，有显然是的函数，记为，且，即解出而故，于是有3．柯西中值定理函数满足：(l）在上连续；(2）在上可导；(3)，则使得注

3、：①定理的条件是充分而非必要的．②几何意义：在定理的条件下，用参数方程，表示的曲线上必存在一点，使过该点的切线平行于连接（g(a),f(a)),(g(b),f(b)）的弦．③它是拉格朗日定理的推广，当时，就是拉格朗日定理．④若条件③改为，则只需将结论分子、分母互调即可．例6.3设函数f在上连续，在内可导，a·b>0．证明，使得分析：要证结论右边是函数的导数的分子，左边是的基本形式，要消除多余的部分，只需令即可，注意到，即原点不在区间内．可用柯西中值定理。证明：令：，则因，即原点不在区间内，故F,g在上连续，在内可导，且，所以满足柯西中值定理条件，于是，使得代入整理即

4、得要证的结论。4．泰勒中值定理若在上存在n阶连续导数，在内n+1阶导数存在，则对任意的，，存在，使得其中：介于与之间．注：当时，即为拉格朗日中值定理，所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理在高阶导数时的推广．这个公式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式．例6.4设，函数在邻域内具有n+2阶连续导数，且，f在内的泰勒公式为证明：分析：①由于中值，所以的取值与h有关，即.②要证明结论，需写出的表达式．证明：由已知因为f在a点带皮亚诺型余项的泰勒公式为将上两式相减并化简得（*）运用拉格朗日中值定理，有．代人（*）并同时消去h得（**）由已知在点连续，，注意到，对式（**）关令取

5、极限得二、导数的应用1．利用导数判定函数的单调性及证明不等式定理：若函数f在区间I上可导，则f在I单调增（减）.例6.5试比较与的大小．证明：令则(l）当时，,f在上严格增；(2）当时，,f在上严格减所以f在取极大值，也是最大值：2．利用一阶导数求极值(1）极值的必要条件（费马定理）：若函数f在点可导，且在点取得极值，则注：①称使的点为函数f的稳定点（也叫驻点）.②驻点与极值点的关系：a．互不蕴含：例如点是极小值点，但不是驻点；而点是驻点而非极值点．b．有关系：可导的极值点必是驻点（费马定理）；凸（凹）函数的驻点必是极值点．(2）极值的充分条件极值的第一充分条件：若

6、f在点连续，当时，，当时，，则f在取极小（大）值．极值的第二充分条件：若f在点二阶可导，，则必为极值点．时，为极小值点；时，为极大值点．极值的第三充分条件：若f在点有直到n阶导数，且f则①当n为偶数时，必为极值点，时，为极小值点；时，为极大值占②当n为奇数时，必不是极值点．下面仅证明第三充分条件．证明：将f在点展成带皮亚诺余项的泰勒公式，即由已知，，所以有因为等式右边第二项为高阶无穷小量，符号由第一项而定，所以当n为偶数时，。从而，当时，，．即为极小值；当时，，，即为极大值．当n为奇数时，（）符号不定，因而，的符号不定，故不是极值点．3．利用二阶导数判断函数凹凸性及

7、拐点(1）凸（凹）函数定义：设函数f定义在区间I上，若对任意，，有则称f为区间I上的凸（凹）函数．(2）若f在区间I上二阶可导，则f为凸（凹）函数是.(3）曲线上凸凹部分分界点叫曲线的拐点．(4）曲线的渐近线．水平渐近线：若（常数），则称直线，为f的水平渐近线．垂直渐近线：若，则称直线为f的垂直渐近线．斜渐近线：若，则f必有斜渐近线，其中b由极限所确定．例6.8求曲线的渐近线．解：因，所以直线为f的垂直渐进线·义因所以f必有斜渐近线，由于，因此斜渐近线为直线，