Jiaoan_PlaneVector

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1、“平面向量基本定理”教学设计一、内容和内容解析1．内容：平面向量基本定理：如果向量、是同一个平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量，必存在惟一对实数、，使。这一定理是向量用坐标表示并将向量进行运算的基础。定理的更一般的情形是：n维向量空间的任一向量均可由这个向量空间的一组基底惟一线性表示。2．内容解析：根据平面向量基本定理，在同一个平面内，对于确定的基底、，任意向量均对应着惟一的实数对。基于此，在平面直角坐标系中，当取分别与两个坐标轴同方向的单位向量作基底时，该坐标平面上的任一向量都可用惟一的实数对来表示。而此时，实数对亦是向量的起点在原点时向量终点的坐

2、标，我们今后也就把这个坐标叫做向量的坐标了。所以，平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础。因此，可以说是平面向量基本定理使向量成为沟通代数与几何的桥梁。在解决实际问题时，通常从问题中抽象出向量模型，再通过向量的坐标表示，利用代数运算获得问题的解决方案或结果，这是利用向量解决问题的基本特征。平面向量基本定理不仅建立了向量的代数表示及向量运算的代数化问题，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达事物，并把对事物的研究转化为对事物的基本要素的研究的典型范例，这对于人们掌握认识事物

3、的方法，提高研究事物的水平，有着重要的地位与作用。这是平面向量基本定理的知识延伸或“数学知识之间联系”的分析，非常准确和清楚。但是缺乏对向量基本定理这一知识本身的分析。这是对平面向量基本定理的一部分分析：应用平面向量分解定理，有助于我们判断指定向量能否用两个向量线性组合表示，但并能够帮助我们直接获得向量的线性组合式。通常情况下，在选定不共线的两个向量作基底向量后，要用它们表示指定的空间向量，必须首先结合已知条件，观察图形，然后运用向量运算法则表示向量。根据上述分析，我们自然会产生一个疑问，既然获得向量表示式的每一步都没有应用平面向量基本定理，那么为什么还要求学生学习这

4、个定理呢？我们认为，平面向量基本定理解决的是基底向量线性表示能否实现的判断问题，而用不共线的两个向量表示指定的向量的方法是解决如何实现的问题，因此它们是紧密联系的。本课的教学重点是得出平面向量基本定理，并正确认识这一定理的重要作用。二、目标和目标解析1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。2．通过同一平面上的不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。对于向量基本定理的学习要求并不十分明确。建议：（1）通过同一平面上不同向量用同一基底表示的探究，使学生掌握平面向量的基本定理的思想或观念（不是掌握

5、平面向量基本定理）；（2）掌握平面上选择基底和用基底表示向量的方法。3．对于简单平面图形中的向量，会选择恰当的基底，将图形中的向量用基底表示出来。这是典型的行为目标描述方法，它指明了行为产生的条件：简单平面图形中的向量，行为及其结果：选择恰当的基底和将图形中的向量用基底表示出来。4．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。5．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运

6、算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。这一目标描述不清。主要问题是没有明确学习活动或学习结果的要求。6．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，6通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。三、教学问题诊断分析1．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆，由此可能增加向量用基底表示时的难度。2．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量

7、基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。3．如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。4．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是进行平面向量基本定理教学的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。因此，教学时应该从共线向量定理的意义与作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）统一表示的方法。5．利用向量加法的平行四边形法则，将平面上任一向量用两个不平行的确定向量（即基底）表示出来是教