纠错编码的基本原理

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1、纠错编码的基本原理1、基本概念为了方便对差错编码原理进行叙述，下面先介绍一些基本术语。信息码元——指进行差错编码前送入的原始信息编码。监督码元——指经过差错编码后在信息码元基础上增加的冗余码元。码字（组）——由信息码元和监督码元组成的，具有一定长度的编码组合。码集——不同信息码元经差错编码后形成的多个码字组成的集合。码重——码字的重量，即一个码字中“1”码的个数。通常用W表示。例如：码字10011000的码重W=3，而码字00000000的码重W=0。同理：1001111001，1100110111码距——所谓码元距离就是两个码组中对应码位上码元不

2、同的个数（也称汉明距）。码距反映的是码组之间的差异程度，比如，00和01两组码的码距为1；011和100的码距为3。11000与10011之间的距离d=3。码字10011001和11110101之间的码距为4。最小码距——码集中所有码字之间码距的最小值即称为最小码距，用表示。例如：若码集包含的码字有10010，00011，和11000，则各码字两两之间的码距分别如下：10010和00011之间10010和11000之间00011和11000之间因此该码集的最小码距为2，即。000、001、110三个码组相比较，码距有1和2两个值最小码距是码的一个重

3、要参数，它是衡量码检错、纠错能力的依据。2.分组码分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息码元的数目，n是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，简称码长。n-k=r为每个码组中的监督码元数目。简单地说，分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元，组成长为n的码字。在二进制情况下，共有2k个不同的信息组，相应地可得到2k个不同的码字，称为许用码组。其余2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。（7，4）（9，5）krn3、编码纠检错能力与最小码距之间的关系数字通信系统中送入信道的信息都是“0”“1”组合的数字信号，例如：待

4、传送的信息是“晴”和“雨”，则只需一位数字编码就可以表示。若用“1”表示“晴”，“0”表示“雨”。当“0”“1”形式的信息在信道中传输时将0错成1或将1错成0时，由于发生差错后的信息编码状态是发送端可能出现的状态，因此接收端无法发现差错。但是如果发送信息送进信道之前，在每个编码之后附加一位冗余码，变成用两位编码“11“表示”晴“，“00”表示“雨”，则在传输过程中由于干扰造成信息编码中一位码发生差错，错成“10”（或“01”）时，由于“10”或“01”都是发送端不可能出现的编码，接收端就能发现差错，但此时并不能判断出差错是第一比特还是第二比特，因此

5、不能自动纠错许用码组0011禁用码组1001若继续增加冗余码位数，用“111”表示“晴”，“000”表示“雨”，当编码在传输中出现1位或2位码差错（如错成001或101等编码）时，接收端都能检测到，并能确定只有1位码差错时错误码位的位置，此时这种编码方式可以检测1位或2位差错，并能纠正单个的误码。许用码组：000，111禁用码组：001010011100101110由上例的分析可见，冗余码位数增加后，编码的抗干扰能力增强。这主要是因为冗余码位数增加后，发送端使用的码集中，码字之间最小码距增大。由于反映了码集中每两个码字之间的差别程度，如果越大，从一

6、个编码错成另一个编码的可能性越小，则其检错、纠错能力也就越强。因此最小码距是衡量差错控制编码纠、检错能力大小的标志。一般情况下，差错编码的纠错能力及检错能力与最小码距之间的关系如下：4.检错和纠错能力码的最小距离d0直接关系着码的检错和纠错能力；任一(n,k)分组码，若要在码字内:(1)检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1;A0123BA0123………………eBABBA0(2)纠正t个随机错误，则要求码的最小距离d0≥2t+1;2345tt2t12t1(3)纠正t个同时检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥t+e+1。(e≥t)

7、例如：d0=3，或者4，或者5t1eAB检1位纠1位检出2位，纠正1位检2纠2例：已知四个码组为（110001000）（100010111）（000101111）（001011110）若将此码用于检错最多可以检出多少位错吗？若用于纠错，最多纠正几位？若同时用于检错和纠错，能检出几位，纠正几位？3.编码效率用差错控制编码提高通信系统的可靠性，是以降低有效性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:R=k/n其中,k是信息元的个数，n为码长。对纠错码的基本要求是:检错和纠错能力尽量强；编码效率尽量高；编码规律尽量简单。实际中要根据具体指标要

8、求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。4.2常用的几种简单分组码1、奇偶监督码是一种最简单的差错编码又称奇偶