线性代数部分题解

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1、第一章P.4013(1)P.4116P.4220(1)性质2的推论：D中两行元素对应相等D=0解法1由题意知，方程最多有4个实根。由性质2的推论知：解法2直接计算行列式按第四行展开或化成三角形行列式。P.4324再按第一列展开。25题最好按第一列展开，得两个三角形行列式。注意：性质4是用于行或列P.4426按第一列展开不是P.4629(1)或将第2列加到第1列上，再化成三角形行列式。P.4630设按第j列展开第二章252627用分配律，整理证法二：28题以下证法是否正确：必有

2、A

3、=0,故A必为奇异矩阵。反例：但

4、A

5、=1.故

6、A必为奇异矩阵。证明（反证法）：如果A非奇异，则A可逆，这与A不是单位阵矛盾。故A必为奇异矩阵。31或改错:P.10834(4)题,秩(A)=333(6)n-1次相邻行交换判别A,B可逆，再用公式。用分块阵求逆公式最简单：第三章1（3）•第三行“0”不能省去，但同解方程组中第三个方程可以省去。•r(Ab)=r(A)=2<4(<3)•是对原方程组的(Ab)作初等行变换，不要先将方程组变形后再对(Ab)作初等变换。•最好解、，即、取为自由未知量。2（4）方程组有唯一解(1)当，时，(2)当，时，方程组有无穷多个解…(3)当，时，方程

7、组无解当时，不是阶梯形矩阵（4）当，时，方程组有无穷多个解。同解方程组为：x1任意取值得其中c为任意常数（5）当，时，方程组有无穷多个解。x1任意取值同解方程组为：得其中c为任意常数（6）当方程组无解。2(2)P.166改错方程组有唯一解（2）当a=1时，方程组有无穷多个解…（3）当a=-2时，方程组无解…2（3）改错应讨论以下四种情况：方程组有解11(P.168)解法1：解法2：另一方面，方程组有非零解，使(2)式成立，从而使(1)式成立，解法3：12(P.168)证法1：用定义（3步）证法2：（用P.143例2及定理3.4(

8、P.132)）由此可得：18（P.170）（1）证法一于是得是零向量，故B=O.证法二将A的行作适当调整，使得前n行线性无关，并记为：用“解”的定理两边左乘得B=O.证法三故B=O.（用秩的性质）用分块阵及逆阵(2)故B=I.P.17020题方程组有解有解时：为自由未知量，求出一般解…第四章（2）解法1（用定义：AX=X(XO)解法2（用特征方程：

9、I－A

10、=0）（3）解法1（用定义：AX=X(XO)解法2（用特征方程：

11、I－A

12、=0）下列证法是否正确：0是A得特征值；没得出“只能”！其特征值是0和2。正确证法：故A

13、的特征值只能是0或1。下列证法正确否？故…故…性质的逆命题不成立！正确证法：故…证P.2404(2)配方法代入上式得：代入上式得标准形：若化规范形，则第四章得标准形：初等变换法若化规范形用正交替换化为标准形。解有一根为5或－5。分析：设令解得再分解：特征值：特征向量单位化后可得正交矩阵：P.2409题因A,B正定，所以对任何故C是正定阵。证法1证法2《学习指导》“线性方程组”检测题(A)1.(10)D解下面证明线性无关：整理：6.解由题设可知A,B的大小相同。8.思路：因齐次方程组解向量组的秩＝n-r(A

14、)，与A的秩有关，若能证得方程组同解，即证得：证反之，设有X是ATAX=O的解，