清华大学微积分高等数学课件第8讲微分中值定理

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1、作业P88习题4.15(1).7.8(2)(4).9(1).10(3).P122综合题:4.5.复习：P80——88预习：P89——957/23/20211应用导数研究函数性态局部性态—未定型极限函数的局部近似整体性态—在某个区间上函数的单调性、函数的极值函数的凸性、渐近性、图形7/23/20212微分中值定理，包括：罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分

2、性质。7/23/20213第八讲微分中值定理一、费尔马(Fermat)定理二、罗尔(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)定理四、柯西(Cauchy)定理7/23/20214一、费尔马(Fermat)定理（一）极值的定义：7/23/20215极值的研究是微积分产生的主要动力之一7/23/20216（二）费尔马定理(极值必要条件)7/23/202177/23/20218[证]7/23/202197/23/202110微分中值定理的引入(((7/23/2021117/23/2021127/23/2021137/23/202114二

3、、罗尔(Rolle)定理7/23/202115怎样证明罗尔定理？先利用形象思维去找出一个C点来！想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！7/23/202116罗尔定理的证明：7/23/2021177/23/202118三、拉格朗日(Lagrange)定理7/23/202119怎样证明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件:则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件:则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的新问题转化为已掌握的老问题。因此想到利用罗尔定理！7/23/202120满足罗尔定理条件弦线与f(x)在端点处相等设函数7

4、/23/202121拉格朗日定理的证明：构造辅助函数拉格朗日中值公式7/23/202122拉格朗日公式各种形式有限增量公式7/23/2021237/23/202124推论1：[证]7/23/202125推论2：推论3：推论4：7/23/202126四、柯西(Cauchy)定理7/23/202127柯西中值定理的证明：构造辅助函数7/23/202128费尔马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理7/23/202129零点问题以下证明恰好有三个根该方程实根个数就是两条曲线7/23/202130首先证明至少有三个根计算表明根据介值定理因此方程至少有三

5、个根然后证明方程最多有三个根用反证法7/23/202131根据洛尔定理矛盾！综上所述，方程恰好有三个实根357/23/202132直观观察可以启发思路在第一种情形,都不是最小值所以最小值一定在区间内部达到7/23/202133[证]7/23/202134证明思路直观分析[例3]7/23/202135[证]根据连续函数的最大最小值定理7/23/202136[证]7/23/202137447/23/202138[证]7/23/2021397/23/202140[证]7/23/2021417/23/2021427/23/202143[证]7/2

6、3/2021447/23/202145[证]7/23/2021467/23/2021477/23/202148[证]7/23/2021497/23/2021507/23/202151