高数微积分—数列的极限

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1、一个定义在正整数集合上的函数f(n)(称为整标函数),当自变量按正整数1,2,3,依次增大的顺序取值时,函数值按相应的顺序排成一串数:f(1),f(2),f(3),,f(n),称为一个无穷数列,简称数列。数列中的每一个数称为数列的项，f(n)称为数列通项。1.数列的定义例如当n无限增大时①xn无限接近于1，即xn-1无限接近于0。②xn无限接近于1，即1-xn无限接近于0。③xn无限接近于1，即

2、xn-1

3、无限接近于0。无限接近于0是什么含义？用数学的语言怎么刻画？理解：当n无限不断增大时，

4、xn-1

5、无限接近于0。

6、⌨

7、xn-1

8、作为一个正数要有多小就有多小。⌨

9、xn-1

10、可以小于任意给定的正数。※任意给定,从第项开始，

11、xn-1

12、<。存在N=,当n>N时※任意给定,从第项开始，

13、xn-1

14、<。存在N=,当n>N时例如给定1/10,存在N=10，当n>N时，

15、xn-1

16、<1/100给定1/100,存在N=100，当n>N时，

17、xn-1

18、<1/100给定0.003,存在N=334，当n>N时，

19、xn-1

20、<0.003※一般的，任意给定>0,存在正整数N,当n>N时，

21、xn-1

22、<2.数列的极限注意：如果数列xn以a为极限，通常也说

23、数列xn收敛于a。如果数列xn的极限不存在，就说数列xn发散。例1证所以,3.极限的证明例2证证例4证用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.4.极限的几何解释即定理1(极限的唯一性)证用反证法.5.极限的唯一性例4证(用反证法)区间长度为1.因此这数列发散.而这两个不可能同时属于长度为1的区间内由定义,定理2证6.收敛数列的有界性推论无界数列必定发散.从而定理3证就a>0的情形证明.由数列极限的定义，对7.收敛数列的保号性§1.1小结➊极限的定义➋极限的几何含义➌极限的唯一性➍极限的有界性➎极限

24、的保号性。➏子列的收敛性