量子力学习题答案(曾谨言版)

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1、部分习题解答P25习题1.3解:（a）、（b）两问参见课件。（c）由(a)知道：自由粒子波函数既是动量本征函数也是能量本征函数或能量本征态(定态)，而(x)是无穷多动量本征态的叠加，也即无穷多能量本征态的叠加，因此(x)=(x)代表非定态，也即非能量本征态。另解：常数因此(x)=(x)非能量本征态。(d)任意波函数可按自由粒子的平面波函数展开：可以证明展开系数（见附录）自由粒子波函数其中当(x,t)未知时，C(p)难以直接求解。但C(p)与时间无关，故可以用系统的初态求解：则利用所以附录：系数证明：（I）右边所以（I）式可以写成：得证

2、！课件第3章§1习题:证明解答：由转置算符的定义得到和任意，所以P74习题3.3解答：利用同理有P75习题3.14解：设lz算符的本征态为m，相应的本征值mћ类似地可以证明P75习题3.16解：显然态，非lz算符和l2算符的本征态(a)lz的可能测值相应本征态Y11相应本征态Y20相应的测量概率：平均值：(b)l2的可能测值相应本征态Y11相应本征态Y20相应的测量概率：平均值：P95习题4.2解:(a)对两个全同的Boss子，体系波函数必须满足交换对称性。①当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定交换对称：可能态数目3①当两个粒子处于

3、不同的单态时，对称化的体系波函数：可能态数目所以，两个全同Boss子总的可能态数目6(b)对两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换反对称要求。对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波函数：可能态数目所以，两个全同Femi子总的可能态数目3(b)对两个经典的粒子(可区分)，其体系波函数无对称性要求，即可能态数目P95习题4.5解：定态就是能量本征态，对应本征值E。因束缚态是可以归一化的，故不妨设已归一化。P115习题5.5解答:氢原子基态波函数基态能量经典禁区（因为E=T+V，E－V<0意

4、味着T<0，显然是经典理论不允许的；但量子理论中，粒子可以发生隧道效应，穿越经典禁区）基态电子处于经典禁区的概率注意：结果中e非指电子电荷，而是指数e。P115习题5.6解答:(a)类氢离子中电子的波函数园轨道（l=n－1）下的径向概率分布函数最概然半径rn由下列极值条件决定：(b)径向概率密度对于园轨道(l=n－1)利用积分公式得到而对于氢原子“园轨道”的平均半径例如基态和例题1的结果一致。(c)涨落与(b)类似地所以可见，n越大，越小，量子力学的结果和Bohr量子化“轨道”的图像越接近。