第1,2章-小结

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1、第一章小结线性方程组相关概念矩阵的概念初等行(列)变换熟练化矩阵为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形1设一般线性方程组为则称矩阵为方程组(1)的系数矩阵。一.线性方程组2称矩阵为方程组(1)的增广矩阵。当时,齐次线性方程组3化为行阶梯形矩阵初等行变换则以矩阵（2）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。4由矩阵（2）可讨论方程组（1）的解的情况1)若，则方程组无解。2)若则方程组有解，当有唯一解。有无穷多解。特别地，对应的齐次线性方程组一定有解。当有唯一的零解。有无穷多解，即有非零解。5定理2在齐次线性方程组中，如果　，则它必有非零解.即“方程个数<未知量个数

2、”6概念二矩阵数表7初等行变换（ⅰ）对调矩阵的两行（ⅱ）以非零常数乘矩阵某一行的各元素（ⅲ）把某一行所有的元素的倍加到另一行对应的元素上去“行”变成“列”，记号:“”换成“”.初等变换初等列变换矩阵的初等变换8行阶梯形矩阵行最简形矩阵9例1当　取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．10解法一用“初等行变换”（法）把系数矩阵化为阶梯形1112从而得到方程组的通解1314解法二因为系数矩阵为含参数的方阵，故可考虑使用“行列式”法，而15和解法－一样，可得到方程组的通解.16第二章小结行列式概念熟练掌握行列式性质会用定义、性质及有关定理计算行列式

3、克拉默法则171.n阶行列式的定义或18性质1:行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．性质4:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则该行列式等于两个行列式之和.性质5:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变

4、.2.n阶行列式的性质193.行列式按行(列)展开元素aij的余子式：Mij代数余子式：Aij=(–1)i+jMij(1)4.克拉默法则20定理1:(克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式.定理2:如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.定理3:如果齐次线性方程组的系数行列式D0,则齐次线性方程组只有零解.定理4:如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式D必为零.在

5、后面我们将证明:齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为它的系数行列式D必为零.21n000…000020…000003…00…0000…n-200000…0n-10100…00例1:解：非零元素很少时，可考虑直接用定义.D的展开式中只有a11an2a23a34···an-2,n-1an-1n=n·1·2···(n-1)=n!≠0又τ[1n234···(n-1)]=n-2∴D=n!典　型　例　题22典　型　例　题例2:计算行列式解:23利用范德蒙行列式例324例4：25解一:消去第一列（行）后成三角行列式26解二:直接按第一行（列）展开27消去第一列（行）后成

6、三角行列式直接按第一行（列）展开爪型行列式2829加边法，化原行列式为爪型行列式第一行（列）消去其他各行（列），化为爪型行列式例5：303132例6：直接按第一列(最后一列)展开得到递推式三斜行列式33解:3435削去行列式第二列后所有对角元或次对角元，再展开直接按第一列展开例736解一:3738解二:消去次对角元39解三:消去主对角元40a.b.c.形如用同样方法计算41=A3–2A1+2A13A2A1例8.设三阶行列式D=-2.A1,A2,A3分别表示D的第一、二、三列.求A3-2A13A2A1解：A3-2A13A2A1A13A2A3=A13A2A1-2

7、又解：A3-2A13A2A1=-3A1A2A3=-3D=-3(-2)=6×2=-3A1A2A3=-3D=-3(-2)=6该行列式等于零42