理论力学牛顿动力学方程

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1、理论力学何国兴东华大学应用物理系第一章牛顿动力学方程§1.1经典力学基础——《原理》牛顿三大定律§1.2牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿第二定律矢量表达式F=dP/dt=d(mv)/dt若m为常数，F=mdv/dt=ma1、直角坐标系Fx=mdvx/dt=maxFy=mdvy/dt=mayFz=mdvz/dt=maz例题：假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧毁时，有一质量为m的碎片以水平方向的初速vo抛出，已知空气阻力与速度成正比，即f=-kv（k为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程。解：牛顿第二定律：

2、mg+f=mg-kv=mdv/dt建立坐标系：x轴——vo方向;y轴——垂直向下方向。初始条件：t=0，xo=0，yo=0，zo=0；vxo=vo，vyo=0，vzo=0;运动微分方程：-kvx=mdvx/dtmg-kvy=mdvy/dt0=mdvz/dt运动微分方程：-kvx=mdvx/dtmg-kvy=mdvy/dt0=mdvz/dtx方向：dvx/vx=-(k/m)dt→vx=voe-kt/my方向：-kdvy/(mg-kvy)=-(k/m)dt→vy=(mg/k)(1-e-kt/m)z方向：dvz=0→

3、vz=vzo=0vx=voe-kt/mvy=(mg/k)(1-e-kt/m)vz=0vx=voe-kt/m，vy=(mg/k)(1-e-kt/m)，vz=0→x-xo=∫otvoe-kt/mdt=(mvo/g)(1-e-kt/m)→y-yo=∫ot(mg/k)(1-e-kt/m)dt=mgt/k-m2g/k2(1-e-kt/m)→z-zo=∫ot0dt=0运动方程:x=(mvo/g)(1-e-kt/m)y=mgt/k-m2g/k2(1-e-kt/m)z=0→kt/m=-ln(1-kx/mvo)轨迹方程:y=-g

4、ln(1-kx/mvo)-mgx/kvoz=0§1.2牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式2、平面极坐标系(r,φ)与直角坐标系关系:(1)(x,y)→(r,φ)x=rcosφy=rsinφvx=vrcosφ-vφsinφvy=vrsinφ+vφcosφrvφoxyroφ§1.2牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式2、平面极坐标系(r,φ)(2)(vx,vy)→(vr,vφ)(3)(ax,ay)→(ar,aφ)作业已知球坐标系与直角坐标系关系:x=rsincosy=rsinsinz=rcos推导球坐标系（

5、r，，φ）中的（1）速度分量（vr，v，vφ）；（2）加速度分量（ar，a，aφ）。yxzq1q2q3e1e2e3o3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式x=x(q1,q2,q3),y=y(q1,q2,q3),z=z(q1,q2,q3)例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式。4、球坐标系（作业）CBLAOxyrdωθ例：细杆OL绕O点以匀角速ω转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，d为常数。试求小环的速度及加速度的量值。CBAOdωθC1C2rMAφφoφ例：小船M被水流冲走后，用一绳将它拉

6、回岸A边点。假定水速C1沿河宽不变，而拉绳子的速度则为C2。如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹。mgvPθyxo-b-aat例：求质量为m小球无摩擦从长轴的端点静止滑动到椭圆的最低点时，它对椭圆的压力P。5、自然坐标系(自学)mgvPθyxo-b-aatmgvPθyxo-b-aat§1.2动量定律一、质心RC=∑miri/∑mi=∑miri/M质心定理：MdvC/dt2Md2RC/dt2=F二、质点组运动的分解：平动+转动地面参照系质心参照系ri=RC+ri’§1.4动量定律§1.5克尼希定理