中考数学压轴题分类汇编：代综等腰

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1、中考数学分类汇编：代数几何综合——等腰三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．解：（1），，，．点为中点，．，．，，．（2），．，，ABCDERPHQM21，，即关于的函数关系式为：．（3）

2、存在，分三种情况：①当时，过点作于，则．，，．，，ABCDERPHQ，．ABCDERPHQ②当时，，．③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，．，，．综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．2．如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）解：（1）DC∥AB，AD=DC=

3、CB，∠CDB=∠CBD=∠DBA，∠DAB=∠CBA，∠DAB=2∠DBA，∠DAB+∠DBA=90，∠DAB=60，∠DBA=30，AB=4，DC=AD=2，RtAOD，OA=1，OD=，A（-1，0），D（0，），C（2，）．（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），故可设所求为=（+1）（-3）将点D（0，）的坐标代入上式得，=．所求抛物线的解析式为=其对称轴L为直线=1．（3）PDB为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，P1DB为等腰三角形；②因为以D为

4、圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，P2DB，P3DB为等腰三角形；③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得BD=BP4，BD=BP5．由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．3．如图，已知直线y=﹣x+2与抛物线y=a（x+2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下

5、，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；解一元二次方程-公式法；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理。专题：计算题。分析：（1）把x=0代入求出A的坐标，求出直线与抛物线的交点坐标即可；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，设P的坐标是（x，﹣x+2），根据勾股定理求出x即可；（3）连接AM，求出AM，①当PM=PA时，根据勾股定理得到x2+2x+8=x2+（﹣x+2﹣2）2，求出方程的解即可；同理②当PM=AM时，求出P的坐标；③当PA=AM时，求出P的坐标．解

6、答：解：（1）A的坐标是（0，2），抛物线的解析式是y=（x+1）2．（2）如图，P为线段AB上任意一点，连接PM，过点P作PD⊥x轴于点D，设P的坐标是（x，﹣x+2），则在Rt△PDM中，PM2=DM2+PD2即l2=（﹣2﹣x）2+（﹣x+2）2=x2+2x+8，自变量x的取值范围是：﹣5＜x＜0，答：l2与x之间的函数关系是l2=x2+2x+8，自变量x的取值范围是﹣5＜x＜0．（3）存在满足条件的点P，连接AM，由题意得，AM==2，①当PM=PA时，x2+2x+8=x2+（﹣x+2﹣2）2，解得：x=﹣4，此时y=﹣×（﹣4）+2=4，∴点P1（﹣4，4）；②当PM=

7、AM时，x2+2x+8=（2）2，解得：x1=﹣x2=0（舍去），此时y=﹣×（﹣）+2=，∴点P2（﹣，），③当PA=AM时，x2+（﹣x+2﹣2）2=（2）2，解得：x1=﹣x2=（舍去），此时y=﹣×（﹣）+2=，∴点P3（﹣，），综上所述，满足条件的点为：P1（﹣4，4）、P2（﹣，）、P3（﹣，），答：存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标是（﹣4，4）或（﹣，）或（﹣，）．